偏应力张量

【1】偏应力张量

  通常将应力张量分为两个部分，一部分是球应力张量，另一部分是偏应力张量。其中偏应力张量表示为$p{\delta }_{ij}$（这里的${\delta }_{ij}$是克罗内克函数）的张量，其中平均应力$p$为
$$p=\frac{1}{3}{c}_{kk}=\frac{1}{3}({\sigma }_x+{\sigma }_y+{\sigma }_z)=\frac{1}{3}{I}_1\text{\hspace{1em}(1)}$$  显然由式(1)得知，$p$对于坐标轴可能的所有方向都是相同的，所以称作球应力。偏应力张量$s_{ij}$定义为从实际应力状态中减去球面应力状态。因此，有
$$s_{ij}={\sigma }_{ij}-p{\delta }_{ij}\text{\hspace{1em}(2)}$$  式(2)给出了偏应力张量$s_{ij}$所需要的定义，这个张量的分量为
s i j = [ s 11 s 12 s 13 s 21 s 22 s 23 s 31 s 32 s 33 ] = [ ( σ 11 − p ) σ 12 σ 13 σ 21 ( σ 22 − p ) σ 23 σ 31 a 32 ( σ 33 − p ) ] (3) s _ { i j } = \left[ \begin{array} { l l l } { s _ { 11 } } & { s _ { 12 } } & { s _ { 13 } } \\ { s _ { 21 } } & { s _ { 22 } } & { s _ { 23 } } \\ { s _ { 31 } } & { s _ { 32 } } & { s _ { 33 } } \end{array} \right]\tag{3}=\left[ \begin{array} { l l l } { ( \sigma _ { 11 } - p ) } & { \sigma_ { 12 } } & { \sigma _ { 13 } } \\ { \sigma _ { 21 } } & { ( \sigma_ { 22 } - p ) } & { \sigma _ { 23 } } \\ { \sigma _ { 31 } } & { a _ { 32 } } & { ( \sigma _ { 33 } - p ) } \end{array} \right] sij​= ​s11​s21​s31​​s12​s22​s32​​s13​s23​s33​​ ​= ​(σ11​−p)σ21​σ31​​σ12​(σ22​−p)a32​​σ13​σ23​(σ33​−p)​ ​(3)   注意，在式(2)中，对于$i\ne j$,有${\delta }_{ij}=0$和$s_{ij}={\sigma }_{ij}$.

【1.1】偏应力张量是一个纯剪状态

   从式(2)可得，
$${\sigma }_{ii}=s_{ii}+p{\delta }_{ii}\text{\hspace{1em}(4)}$$
   代换${\delta }_{ij}$并用式(1)，可以从式(4)中得到
$${\sigma }_{ii}=s_{ii}+\frac{1}{3}{\sigma }_{ii}\text{\hspace{1em}(5)}$$或$$s_{ii}=s_{11}+s_{22}+s_{33}=0\text{\hspace{1em}(6)}$$
固偏应力张量是一个纯剪状态。

【1.2】 s i j s_{ij} sij​的主方向

显然，在所有方向上减去一个常数正应力不会改变其主方向，所以偏应力张量与原应力张量的方向是一致的。用主应力表示，偏应力张量为
s i j = [ σ 1 − p 0 0 0 σ 2 − p 0 0 0 0 σ 3 − p ] (7) s _ { i j } = \left[ \begin{array} { l l l } {\sigma _ { 1 } - p } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & {\sigma _ { 2 } - p } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \sigma_ { 3 } - p } \end{array} \right]\tag{7} sij​= ​σ1​−p00​0σ2​−p0​000​σ3​−p​ ​(7)为了获得偏应力张量s的不变量，采用推导式(2.45)的类似方法，从而可以写出
$$|s_{ij}-s{\delta }_{ij}|=0\text{\hspace{1em}(8)}$$或$$s^3-J_1{s}^2+J_{2}s-J_3=0\text{\hspace{1em}(9)}$$其中，$J_1$、$J_2$和$J_3$为偏应力张量的不变量。不变量$J_1$、$J_2$和$J_3$可以表达成以$s$的分量或主值$s_1$、$s_2$和$s_3$表示的不同形式，或者以应力张量的分量或主值${\sigma }_1$、${\sigma }_2$和${\sigma }_3$表示的不同形式。所以有
$$J_1=s_{ii}=s_{11}+s_{22}+s_{33}=s_1+s_2+s_3=0$$$$J_2=\frac{1}{2}{S}_{ij}{S}_{ji}=\frac{1}{2}(S_{11}^2+S_{22}^2+S_{33}^2+S_{12}{s}_{21}+S_{21}{s}_{12}+\cdots )=\frac{1}{2}(s_1^2+s_2^2+s_3^2)$$$$J_3=\frac{1}{3}{s}_{ij}{s}_{jk}{s}_{ki}=\frac{1}{3}(s_1^3+s_2^3+s_3^3)=s_1{s}_2{s}_3$$文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-744878.html

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