单调队列&单调栈
在一些问题中，可以使用单调队列或者单调栈优化
时间复杂度一般会被优化为\(O(n)\)
单调队列
讲解
单调队列： 队尾可以进队出队，对头可以出队（维护队列的单调性，往往会配合二分进一步降低时间复杂度）
- 队尾出队的条件是：队列不空且新元素更优，队中的旧元素队尾出队
- 每个元素必然从队尾进队一次
- 队头出队的条件：队头元素滑出了串口
队列中存储元素的下标，方便判断队头出队
练习
题目1
LeetCode 239. 滑动窗口最大值
class Solution {
public:
const static int N = 1e5 + 10;
int q[N], h, t = -1;
vector<int> maxSlidingWindow(vector<int>& nums, int k) {
vector<int> ans;
for(int i = 0; i < nums.size(); i ++ ){
// 1. 入，当当前元素大于等于队尾元素时，队列不为空，弹出队尾元素，然后加入当前元素
while(h <= t && nums[i] >= nums[q[t]]) t -- ; // ①
q[ ++ t] = i;
// 2. 移除出窗口的元素 0 1 2 3
if(h <= t && q[h] < i - k + 1) h ++ ; // ② 两条语句交换位置无影响
// 3. 记录答案
if(i >= k - 1) ans.push_back(nums[q[h]]);
}
return ans;
}
};
题目2
Luogu P1886 滑动窗口 /【模板】单调队列
模板1
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int a[N], q[N]; // q数组寸元素下标，方便判断队头元素滑出窗口
int main(){
int n, k;
scanf("%d%d", &n, &k);
for(int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);
int h = 1, t = 0; // 对头、队尾
for(int i = 1; i <= n; i ++ ){
while(h <= t && a[q[t]] >= a[i]) t -- ; // 队列不为空，队尾元素>=新进窗口的元素，队尾弹出队列
q[ ++ t] = i; // 入队
if(q[h] < i - k + 1) h ++ ; // 如果划出窗口队头出队
if(i >= k) printf("%d ", a[q[h]]);
}
puts("");
h = 1, t = 0; // 对头、队尾
for(int i = 1; i <= n; i ++ ){
while(h <= t && a[q[t]] <= a[i]) t -- ; // 队列不为空，队尾元素>=新进窗口的元素，队尾弹出队列
q[ ++ t] = i; // 入队
if(q[h] < i - k + 1) h ++ ; // 如果划出窗口队头出队
if(i >= k) printf("%d ", a[q[h]]);
}
return 0;
}
模板2
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int a[N], q[N], h, t = -1; // h为队列头部，t为队列尾部，如果t >= h则队列不为空
int main(){
int n, m;
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);
for(int i = 0; i < n; i ++ ){
// 如果队列不为空，且头部元素出队列
if(h <= t && q[h] < i - m + 1) h ++ ;
// 如果当前值>=队尾元素，出队列
while(h <= t && a[i] <= a[q[t]]) t -- ;
q[ ++ t] = i;
if(i >= m - 1) printf("%d ", a[q[h]]);
}
puts("");
h = 0, t = -1;
for(int i = 0; i < n; i ++ ){
// 如果队列不为空，且头部元素出队列
if(h <= t && q[h] < i - m + 1) h ++ ;
// 如果当前值>=队尾元素，出队列
while(h <= t && a[i] >= a[q[t]]) t -- ;
q[ ++ t] = i;
if(i >= m - 1) printf("%d ", a[q[h]]);
}
return 0;
}
题目2
LeetCode 53. 最大子数组和
解法1：
单调队列
解法2：
动态规划
解法3：
线段树
class Solution {
public:
struct status {
int sum, s, ls, rs; // 区间总和, 最大子段和, 最大前缀和, 最大后缀和
};
status build(vector<int>& nums, int l, int r) {
if (l == r) return {nums[l], nums[l], nums[l], nums[l]};
int mid = l + r >> 1;
auto L = build(nums, l, mid), R = build(nums, mid + 1, r);
status LR;
LR.sum = L.sum + R.sum;
LR.s = max(max(L.s, R.s), L.rs + R.ls);
LR.ls = max(L.ls, L.sum + R.ls);
LR.rs = max(R.rs, R.sum + L.rs);
return LR;
}
int maxSubArray(vector<int>& nums) {
int n = nums.size();
auto res = build(nums, 0, n - 1);
return res.s;
}
};
题目三
Acwing 6. 多重背包问题 III
解法一
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e4 + 10;
int f[N][N], q[N];
int main(){
int n, m, v, w, s;
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 1; i <= n; i ++ ){
scanf("%d%d%d", &v, &w, &s);
for(int j = 0; j < v; j ++ ){
int h = 0, t = -1;
for(int k = j; k <= m; k += v){
if(h <= t && q[h] < k - s * v) h ++ ;
if(h <= t) f[i][k] = max(f[i - 1][k], f[i - 1][q[h]] + (k - q[h]) / v * w);
while(h <= t && f[i - 1][k] >= f[i - 1][q[t]] + (k - q[t]) / v * w) t -- ;
q[ ++ t] = k;
}
}
}
printf("%d", f[n][m]);
return 0;
}
为什么不对 ? 因为f[i][j]的更新顺序并不是线性的所以答案是不正确的，而使用复制数组g便满足了线性更新，保证了答案的正确
解法二
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e4 + 10;
int f[N], g[N], q[N];
int main(){
int n, m, v, w, s;
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 1; i <= n; i ++ ){
memcpy(g, f, sizeof f);
scanf("%d%d%d", &v, &w, &s);
for(int j = 0; j < v; j ++ ){
int h = 0, t = -1;
for(int k = j; k <= m; k += v){
if(h <= t && q[h] < k - s * v) h ++ ;
if(h <= t) f[k] = max(g[k], g[q[h]] + (k - q[h]) / v * w);
while(h <= t && g[k] >= g[q[t]] + (k - q[t]) / v * w) t -- ;
q[ ++ t] = k;
}
}
}
printf("%d", f[m]);
return 0;
}
单调栈
练习
题目1
LeetCode 739. 每日温度
逆序更新文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-747693.html
class Solution {
public:
const static int N = 1e5 + 10;
int stk[N], t;
void push(int x){
stk[t ++ ] = x;
}
void pop(){
t -- ;
}
bool empty(){
return t <= 0;
}
int peek(){
return stk[t - 1];
}
vector<int> dailyTemperatures(vector<int>& temperatures) {
int n = temperatures.size();
vector<int> ans(n);
for(int i = n - 1; i >= 0; i -- ){
int t = temperatures[i];
while(!empty() && t >= temperatures[peek()]) pop();
if(!empty()) ans[i] = peek() - i;
push(i);
}
return ans;
}
};
正序更新文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-747693.html
class Solution {
public:
const static int N = 1e5 + 10;
int stk[N], t;
void push(int x){
stk[t ++ ] = x;
}
void pop(){
t -- ;
}
bool empty(){
return t <= 0;
}
int peek(){
return stk[t - 1];
}
vector<int> dailyTemperatures(vector<int>& temperatures) {
int n = temperatures.size();
vector<int> ans(n);
for(int i = 0; i < n; i ++ ){
while(!empty() && temperatures[i] > temperatures[peek()]){
int j = peek();
pop();
ans[j] = i - j;
}
push(i);
}
return ans;
}
};
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