目录
1.图的基本概念
2.图的相关定义
3.图的顶点与边之间的关系
4.连通图
5.图的存储结构
(1).邻接矩阵（无向图）
(2).邻接矩阵（有向图）
(3).邻接矩阵（网）
1.图的基本概念
图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G（V，E），其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。
注意：在图中数据元素叫做“顶点”；任意两个顶点之间都可能有关系，顶点之间的逻辑关系用“边”来表示，边集可以是空的（只有顶点），但是顶点集合一般要求有穷非空。
2.图的相关定义
-
无向边：若顶点Vi到Vj之间的边没有方向。则称这条边为无向边（Edge），用无序偶（Vi，Vj）来表示。
如上图G1是一个无向图，G1={V1，E1}，其中
—V1={A,B,C,D}；
—E1={(A,B),(B,C),(C,D),(D,A),(A,C)}
- 有向边：若从顶点Vi到Vj的边有方向，则称这条边为有向边，也称为弧（Arc），用有序偶<Vi,Vj>来表示，Vi称为弧尾，Vj称为弧头。
上图G2是一个有向图，G2={V2，E2}，其中
—V2={A,B,C,D},
—E2={<B,A>,<B,C>,<C,A>,<A,D>}
- 简单图：在图结构中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图。以下两个则不属于简单图：
- 无向完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。含有n个顶点的无向完全图有n*(n-1)/2条边。如下图：
- 有向完全图：在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。含有n个顶点的有向完全图有n*(n-1)条边。如下图：
- 稀疏图和稠密图：这里的稀疏和稠密是有些模糊的概念，都是相对而言的，通常认为边或弧数小于n*logn（n是顶点个数）的图称为稀疏图，反之称为稠密图。
- 带权的图：有些图的边或弧带有与它相关的数字，这种与图的边或弧相关的数叫做权（Weight），带权的图通常称为网（Network）。 如下图：
- 子图：假设有两个图G1=(V1,E1)和G2=(V2,E2)，如果V2⊆V1，E2⊆E1，则称G2为G1的子图（Subgraph）。
3.图的顶点与边之间的关系
- 邻接点：对于无向图G=(V,E),如果边（V1,V1)∈E，则称顶点V1和V2互为邻接点（Adjacent），即V1和V2相邻接。边(V1,V2)依附于顶点V1和V2，或者说(V1,V2)与顶点V1和V2相关联。对于有向图G=(V,E)，如果有<V1,V2>∈E，则称顶点V1邻接到顶点V2，顶点V2邻接自顶点V1。
- 度（Degree）：顶点V的度是和V相关联的边的数目，记为TD(V)，如下图，顶点A与B互为邻接点，边(A,B)依附于顶点A与B上，顶点A的度为3。
-
入度、出度：以顶点V为头的弧的数目称为V的入度（InDegree），记为ID(V)，以V为尾的弧的数目称为V的出度(OutDegree)，记为OD(V)，因此顶点V的度为：TD(V)=ID(V)+OD(V)。如下图顶点A的入度是2，出度是1，所以顶点A的度是3。
- 路径的长度是路径上的边或弧的数目。
- 第一个顶点到最后一个顶点相同的路径称为回路或环(Cycle)。
- 序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径，除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或简单环。如下图，左侧是简单环，右侧不是简单环。
4.连通图
定义：在无向图G中，如果从顶点V1到顶点V2有路径，则称V1和V2是连通的，如果对于图中任意两个顶点Vi和Vj都是连通的，则称G是连通图。如下图，左侧不是连通图，右侧是连通图：
连通分量：无向图中的极大连通子图称为连通分量。
注意：首先要是子图，并且子图是要连通的；连通子图含有极大顶点数；具有极大顶点数的连通子图包含依附于这些顶点的所有边。
强连通图：在有向图中，如果对于每一对Vi到Vj都存在路径，则称G是强连通图。
强连通分量：有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量。下图中右侧是强连通图，左侧不是。并且右侧是左侧的极大强连通子图，也是左侧的强连通分量。
5.图的存储结构
(1).邻接矩阵（无向图）
图的邻接矩阵存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（称为邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息。
| 顶点数组： | V0 | V1 | V2 | V3 |
| V0 | V1 | V2 | V3 | |
| V0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| V1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| V2 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| V3 | 1 | 0 | 1 | 0 |
如上，我们设置了两个数组，顶点数组为vertex[4]={V0,V1,V2,V3},边数组arc[4][4]为对称矩阵（0表示不存在顶点间的边，1表示顶点间存在边）。
上面第二个表是以对角线为对称轴的对称表，由此我们引入了对称矩阵的概念：所谓对称矩阵就是n阶矩阵的元满足a[i][j]=a[j][i](0<=i,j<=n)。即从矩阵的左上角到右下角的主对角线为轴，右上角的元与左下角对应的元全都是相等的。
从这个二维数组组成的对称矩阵我们可以很容易的知道图中的信息：根据0或1来判定任意两个顶点之间是否有边；某个顶点的度就是这个顶点Vi在邻接矩阵中第i行（或第i列）的元素之和；求顶点Vi的所有邻接点就是将矩阵中第i行元素扫描一遍，arc[i][j]为1的就是邻接点。
(2).邻接矩阵（有向图）
无向图的边构成了一个对称矩阵，看起来浪费了一半的空间，那如果我们是存放有向图会怎样呢？
| 顶点数组： | V0 | V1 | V2 | V3 |
| V0 | V1 | V2 | V3 | |
| V0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| V1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| V2 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| V3 | 0 | 0 | 0 | 0 |
可见顶点数组vertex[4]={V0,V1,V2,V3},弧数组arc[4][4]也是一个矩阵，但因为是有向图，所以这个矩阵并不对称，例如由V1到V0有弧，的到arc[1][0]=1，而V0到V1没有弧，因此arc[0][1]=0。
有向图要考虑入度和出度，顶点V1的入度为1，正好是第V1列的各数之和，顶点V1的出度为2，正好是第V2行的各数之和。
(3).邻接矩阵（网）
在图的定义中我们提到了网这个概念，事实上也就是每条边上都带有权的图叫做网。
| 顶点数组： | V0 | V1 | V2 | V3 |
| V0 | V1 | V2 | V3 | |
| V0 | 0 | ∞ | ∞ | 18 |
| V1 | 8 | 0 | 2 | ∞ |
| V2 | 4 | ∞ | 0 | ∞ |
| V3 | ∞ | ∞ | ∞ | 0 |
这里的“∞”表示一个计算机允许的，大于所有边上权值的值。
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