正定矩阵和半正定矩阵(矩阵正定的理解)-Toy模板网

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正定矩阵（positive definite matrix）是一个重要的线性代数和数学概念，用于描述矩阵的性质。一个实对称矩阵 $A$ 被称为正定矩阵，如果对于任何非零实向量 $x$ ，都有 $x^{T} A x > 0$ ，其中 $x^{T}$ 表示 $x$ 的转置。这意味着矩阵A对所有非零向量的二次型都是正的。

判断一个矩阵是否正定通常可以使用以下几种方法：

特征值判据：一个实对称矩阵是正定的，当且仅当其所有特征值都为正。这是判断正定矩阵的最常见方法之一。
Sylvester 判据：对于一个n×n的实对称矩阵 $A$ ，使用 Sylvester 判据可以通过检查所有A的顺序主子矩阵的行列式是否都大于零来判断它是否正定。特别地，所有2×2的主子矩阵和所有3×3的主子矩阵的行列式都必须为正。
正定性测试：可以使用 Cholesky 分解来测试正定性。如果一个实对称矩阵 $A$ 可以分解为 $L L^{T}$ ，其中L是一个下三角矩阵，那么矩阵 $A$ 是正定的。
二次型检测：对于一个二次型函数 $Q (x) = x^{T} A x$ ，你可以将任意非零向量 $x$ 代入这个函数，如果得到的结果 $Q (x)$ 始终大于零，则矩阵 $A$ 是正定的。

正定矩阵在数学、工程、优化、线性代数和统计学中具有广泛的应用。它们在描述凸函数、正定规划问题、最小二乘法、多元统计分析中起到关键作用，因为它们保证了二次型函数的一些重要性质，如严格凸性和正定性。

让我们通过几个示例来说明正定矩阵的概念和判据：

示例 1：

考虑一个2x2的实对称矩阵A：
$\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$

特征值判据：首先，计算矩阵 $A$ 的特征值。特征值是 $A$ 的特征多项式的根，即：

$d e t (A - λ I) = 0$ ，其中 $I$ 是单位矩阵。

计算得到特征值： $λ_{1} = 5$ 和 $λ_{2} = 2$ 。因为它们都是正数，所以矩阵A是正定的。
Sylvester 判据：检查所有的主子矩阵的行列式。矩阵A的2x2主子矩阵是正定的，因为它们的行列式都为正数。
正定性测试：使用 Cholesky 分解。如果我们进行Cholesky分解，得到下三角矩阵L如下：
$\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} \end{bmatrix}$

因为Cholesky分解成功，矩阵A是正定的。

示例 2：

考虑一个2x2的实对称矩阵B：
$\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$

特征值判据：计算特征值，得到 $λ_{1} = 3$ 和 $λ_{2} = 1$ 。因为它们都为正数，矩阵B是正定的。
Sylvester 判据：矩阵B的2x2主子矩阵也是正定的。
正定性测试：Cholesky 分解得到下三角矩阵L：
$\begin{bmatrix} \sqrt{2} & 0 \\ -\sqrt{2} & \sqrt{3} \end{bmatrix}$
因为Cholesky分解成功，矩阵B是正定的。

这些示例说明了如何使用特征值判据、Sylvester 判据和Cholesky分解来判断一个矩阵是否正定。在这两个示例中，矩阵A和矩阵B都是正定矩阵，因为它们满足所有判据，特征值均为正数，主子矩阵行列式为正数，并且Cholesky分解成功。

半正定矩阵

半正定矩阵是指对于任意非零实向量 $x$ ，其对应的二次型 $x^T A x$ 的值都大于等于零。这意味着它的特征值全为非负数。

一个实对称矩阵 $A$ 是半正定的当且仅当它满足以下条件：

对称性： $A = A^T$ ，即矩阵 $A$ 是一个实对称矩阵。
对于所有的非零实向量 $x$ ，都有 $x^T A x \geq 0$ 。

举个例子，考虑一个二阶矩阵：

$\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix}$

我们可以验证这个矩阵是半正定的。对于任意非零实向量 $\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ ， $x^T A x$ 可以表示为：

$x^T A x = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3x_1 + x_2 & x_1 + 2x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = 3x_1^2 + 2x_1x_2 + 2x_2^2$