【算法专题】前缀和

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了【算法专题】前缀和。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

前缀和

1. 前缀和【模板】

题目链接 -> Nowcoder -DP34.前缀和【模板】

Nowcoder -DP34.前缀和【模板】

题目:给定一个长度为n的数组 a1​, a2​, …an.
接下来有q次查询, 每次查询有两个参数l, r.
对于每个询问, 请输出 al + al + 1 + … + ar

输入描述:
第一行包含两个整数n和q.
第二行包含n个整数, 表示 a1, a2, …an.
接下来q行, 每行包含两个整数 l 和 r.
1 ≤ n, q ≤ 10^5
−10^9 ≤ a[i] ≤ 10^9
1 ≤ l ≤ r ≤n

输出描述:
输出q行, 每行代表一次查询的结果.

示例1
输入:
3 2
1 2 4
1 2
2 3

输出:
3
6​

思路:

  1. 先预处理出来⼀个「前缀和」数组:

用 dp[i] 表示: [1, i] 区间内所有元素的和,那么 dp[i - 1] 里面存的就是 [1, i - 1] 区间内所有元素的和,那么:可得递推公式: dp[i] = dp[i - 1] + arr[i] ;

  1. 使用前缀和数组,「快速」求出「某⼀个区间内」所有元素的和:

当询问的区间是 [l, r] 时:区间内所有元素的和为: dp[r] - dp[l - 1]

代码如下:文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-754210.html

		#include <iostream>
		#include <vector>
		using namespace std;
		
		int main() 
		{
		    int n = 0, q = 0;
		    cin >> n >> q;
		
		    // 读取数据
		    vector<long long> arr(n + 1);
		    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> arr[i];
		    
		    // 处理前缀和数组
		    vector<long long> dp(n + 1);
		    for(int i = 1; i <= n; i++)
		        dp[i] = dp[i - 1] + arr[i];
		    
		    // 计算区间和
		    while(q--)
		    {
		        int l = 0, r = 0;
		        cin >> l >> r;
		        cout << dp[r] - dp[l - 1] << endl;
		    }
		
		    return 0;
		}

2. 二维前缀和【模板】

题目链接 -> Nowcoder -DP35.二维前缀和【模板】

Nowcoder -DP35.二维前缀和【模板】

题目:给你一个 n 行 m 列的矩阵 A ,下标从1开始。
接下来有 q 次查询,每次查询输入 4 个参数 x1, y1, x2, y2
请输出以(x1, y1) 为左上角, (x2, y2) 为右下角的子矩阵的和,

输入描述:
第一行包含三个整数n, m, q.
接下来n行,每行m个整数,代表矩阵的元素
接下来q行,每行4个整数x1, y1, x2, y2,分别代表这次查询的参数

1 <= n,m <= 1000
1 <= q <= 10^5
-10^9 <= a[i][j] <= 10^9
1 <= x1 <= x2 <= n
1 <= y1 <= y2 <= m

输出描述:
输出q行,每行表示查询结果。

思路:前缀和;
1、首先搞出来前缀和矩阵,这里就要用到一维数组里面的拓展知识,我们要在矩阵的最上面和最左边添加上一行和一列 0,这样我们就可以省去非常多的边界条件的处理;处理后的矩阵就像这样:

【算法专题】前缀和,算法专栏,算法,开发语言,c++,数据结构

这样,我们填写前缀和矩阵数组的时候,下标直接从 1 开始,能大胆使用 i - 1 , j - 1 位置的值。
注意 dp 表与原数组 matrix 内的元素的映射关系:

  • 从 dp 表到 matrix 矩阵,横纵坐标减一;
  • 从 matrix 矩阵到 dp 表,横纵坐标加一

前缀和矩阵中 dp[i][j] 的含义,以及如何递推二维前缀和方程

  1. dp[i][j] 的含义:
    dp[i][j] 表示,从 [0, 0] 位置到 [i, j] 位置这段区域内,所有元素的累加和。对应下图的红色区域

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  1. 递推方程

我们可以将 [0, 0] 位置到 [i, j] 位置这段区域分解成下面的部分:

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dp[i][j] = 红 + 蓝 + 绿 + 紫,分析一下这四块区域:

  • 紫色部分最简单,它就是原数组矩阵中的 matrix[i - 1][j - 1] (注意坐标的映射关系)
  • 单独的蓝不好求,因为它不是我们定义的状态表示中的区域,同理,单独的绿也是;
  • 但是如果是红 + 蓝,正好是我们 dp 数组矩阵中 dp[i - 1][j] 的值
  • 同理,如果是红 + 绿,正好是我们 dp 数组矩阵中 dp[i][j - 1] 的值
  • 如果把上面求的三个值加起来,那就是紫 + 红 + 蓝 + 红 + 绿,发现多算了一部分红的面积,因此再单独减去红的面积即可;
  • 红的面积正好也是符合 dp 数组的定义的,即 dp[i - 1][j - 1]

综上所述,我们的 dp 矩阵递推方程就是:
dp[i][j]=dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1]+matrix[i - 1][j - 1]

2、使用 dp 前缀和矩阵

我们可以继续使用下面这个图,题中求的是 [x1, y1] 到 [x2, y2] 的面积:

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也可以画出具体的图理解,如下图所示:

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接下来分析如何使用这个前缀和矩阵,假设上图中这里的 x 和 y 都处理过了,对应的正是 dp 矩阵中的下标;

因此我们要求的就是紫色部分的面积,继续分析几个区域:

  • 红色,能直接求出来,就是 dp[x1 - 1][y1 - 1] (为什么减一?因为要剔除掉 x1 这一行和 y1 这一列,这一行和这一列是要求出来的结果的一部分)
  • 蓝色,直接求不好求,但是和红色拼起来,正好是 dp 表内 dp[x1 - 1][y2] 的数据
  • 同理,绿色不好求,但是 红 + 绿 = dp[x2][y1 - 1] ;
  • 再看看整个面积,非常好求,正好是 dp[x2][y2] ;
  • 那么,紫色 = 整个面积 - 红 - 蓝 - 绿,但是蓝绿不好求,我们可以这样减:整个面积 -(蓝 + 红)-(绿 + 红),这样相当于多减去了一个红,再加上即可

综上所述:紫 = 整个面积 -(蓝 + 红)- (绿 + 红)+ 红,从而可得紫色区域内的元素总和为:dp[x2][y2] - dp[x2][y1 - 1] - dp[x1 - 1][y2] + dp[x1 - 1][y1 - 1]

思路介绍完毕,代码如下:

		#include <iostream>
		#include <vector>
		using namespace std;
		
		int main() 
		{
		    int n = 0, m = 0, q = 0; 
		    cin >> n >> m >> q;
		
		    // 输入矩阵
		    vector<vector<long long>> arr(n + 1, vector<long long>(m + 1));
		    for(int i = 1; i <= n; i++)
		        for(int j = 1; j <= m; j++)
		            cin >> arr[i][j];
		
		    // 预处理,创建一个 dp 矩阵
		    vector<vector<long long>> dp(n + 1, vector<long long>(m + 1));
		    for(int i = 1; i <= n; i++)
		        for(int j = 1; j <= m; j++)
		            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1] + arr[i][j];
		
		    // 使用矩阵查询
		    while(q--)
		    {
		        int x1, y1, x2, y2;
		        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
		        cout << (dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] + dp[x1 - 1][y1 - 1]) << endl;
		    }
		    return 0;
		}

3. 寻找数组的中心下标

题目链接 -> Leetcode -724.寻找数组的中心下标

Leetcode -724.寻找数组的中心下标

题目:给你一个整数数组 nums ,请计算数组的 中心下标 。
数组 中心下标 是数组的一个下标,其左侧所有元素相加的和等于右侧所有元素相加的和。
如果中心下标位于数组最左端,那么左侧数之和视为 0 ,因为在下标的左侧不存在元素。这一点对于中心下标位于数组最右端同样适用。
如果数组有多个中心下标,应该返回 最靠近左边 的那一个。如果数组不存在中心下标,返回 - 1 。

示例 1:
输入:nums = [1, 7, 3, 6, 5, 6]
输出:3
解释:
中心下标是 3 。
左侧数之和 sum = nums[0] + nums[1] + nums[2] = 1 + 7 + 3 = 11 ,
右侧数之和 sum = nums[4] + nums[5] = 5 + 6 = 11 ,二者相等。

示例 2:
输入:nums = [1, 2, 3]
输出: - 1
解释:
数组中不存在满足此条件的中心下标。

示例 3:
输入:nums = [2, 1, -1]
输出:0
解释:
中心下标是 0 。
左侧数之和 sum = 0 ,(下标 0 左侧不存在元素),
右侧数之和 sum = nums[1] + nums[2] = 1 + -1 = 0 。

提示:

  • 1 <= nums.length <= 10^4
  • 1000 <= nums[i] <= 1000

思路:从中心下标的定义可知,除中心下标的元素外,该元素左边的「前缀和」等于该元素右边的「后缀和」。

  • 因此,我们可以先预处理出来两个数组,⼀个表示前缀和,另一个表示后缀和。
  • 然后,我们可以用一个 for 循环枚举可能的中心下标,判断每一个位置的「前缀和」以及「后缀和」,如果二者相等,就返回当前下标。

代码如下:

		class Solution {
		public:
		    // 前缀和思想
		    int pivotIndex(vector<int>& nums) 
		    {
		        int n = nums.size();
		        vector<int> dp(n + 1);
		        
		        // 先填表
		        for(int i = 1; i <= n; i++)
		            dp[i] = dp[i - 1] + nums[i - 1];
		
		        // 使用 dp 表
		        for(int i = 1; i <= n; i++)
		            if(dp[i - 1] == dp[n] - dp[i]) return i - 1;
		
		        return -1;
		    }
		};

4. 除自身以外数组的乘积

题目链接 -> Leetcode -238.除自身以外数组的乘积

Leetcode -238.除自身以外数组的乘积

题目:给你一个整数数组 nums,返回 数组 answer ,其中 answer[i] 等于 nums 中除 nums[i] 之外其余各元素的乘积 。
题目数据 保证 数组 nums之中任意元素的全部前缀元素和后缀的乘积都在 32 位 整数范围内。
请 不要使用除法,且在 O(n) 时间复杂度内完成此题。

示例 1:
输入: nums = [1, 2, 3, 4]
输出 : [24, 12, 8, 6]

示例 2 :
输入 : nums = [-1, 1, 0, -3, 3]
输出 : [0, 0, 9, 0, 0]

提示:

  • 2 <= nums.length <= 10^5
  • 30 <= nums[i] <= 30

保证 数组 nums之中任意元素的全部前缀元素和后缀的乘积都在 32 位 整数范围内。

思路:根据题意,对于每⼀个位置的最终结果 ret[i] ,它是由两部分组成的:

  • nums[0] * nums[1] * nums[2] * … * nums[i - 1]
  • nums[i + 1] * nums[i + 2] * … * nums[n - 1]

于是,我们可以利用前缀和的思想,使用两个数组 f 和 g,分别处理出来两个信息:

  • f[i] 表示:i 位置之前的所有元素,即 [0, i - 1] 区间内所有元素的前缀乘积
  • g[i] 表示:i 位置之后的所有元素,即 [i + 1, n - 1] 区间内所有元素的后缀乘积

然后再处理最终结果

代码如下:

		class Solution {
		public:
		    vector<int> productExceptSelf(vector<int>& nums) 
		    {
		        int n = nums.size();
		        vector<int> f(n, 1), g(n, 1), dp(n);
		        
		        // f[i] 表示:i 位置之前的所有元素,即 [0, i - 1] 区间内所有元素的前缀乘积; 
		        // g[i] 表示:i 位置之后的所有元素,即 [i + 1, n - 1] 区间内所有元素的后缀乘积
		        for(int i = 1; i < n; i++) f[i] = f[i - 1] * nums[i - 1];
		        for(int i = n - 2; i >= 0; i--) g[i] = g[i + 1] * nums[i + 1];
		
		        for(int i = 0; i < n; i++) dp[i] = f[i] * g[i];
		
		        return dp;
		    }
		};

5. 和为K的子数组

题目链接 -> Leetcode -560.和为K的子数组

Leetcode -560.和为K的子数组

题目:给你一个整数数组 nums 和一个整数 k ,请你统计并返回 该数组中和为 k 的连续子数组的个数 。
子数组是数组中元素的连续非空序列。

示例 1:
输入:nums = [1, 1, 1], k = 2
输出:2

示例 2:
输入:nums = [1, 2, 3], k = 3
输出:2

提示:

  • 1 <= nums.length <= 2 * 10^4
  • 1000 <= nums[i] <= 1000
  • 10^7 <= k <= 10^7

思路:设 i 为数组中的任意位置,用 sum[i] 表示 [0, i] 区间内所有元素的和;想知道有多少个「以 i 为结尾的和为 k 的子数组」,就要找到有多少个起始位置为 x1, x2, x3… 使得 [x, i] 区间内的所有元素的和为 k ;那么 [0, x] 区间内的和就是sum[i] - k 了。于是问题就变成:

  • 找到在 [0, i - 1] 区间内,有多少前缀和等于 sum[i] - k 的即可

【算法专题】前缀和,算法专栏,算法,开发语言,c++,数据结构

代码如下:

		class Solution {
		public:
		    int subarraySum(vector<int>& nums, int k) 
		    {
		        int n = nums.size();
		        vector<int> dp(n + 1);
		        unordered_map<int, int> hash;
		
		        // 当整个前缀和等于 k 时,相当于找和为 0 的个数,所以默认和为 0 的有一个
		        hash[0] = 1;
		        int sum = 0, ret = 0;
		
		        for(int i = 1; i <= n; i++)
		        {
		            // 计算当前位置的前缀和
		            dp[i] = dp[i - 1] + nums[i - 1];
		
		            // 在 [0, i - 1] 区间内,有多少前缀和等于 dp[i] - k
		            if(hash.count(dp[i] - k)) ret += hash[dp[i] - k];
		
		            hash[dp[i]]++;
		        }
		        return ret;
		    }
		};

6. 和可被K整除的子数组

题目链接 -> Leetcode -974.和可被K整除的子数组

Leetcode -974.和可被K整除的子数组

题目:给定一个整数数组 nums 和一个整数 k ,返回其中元素之和可被 k 整除的(连续、非空) 子数组 的数目。

子数组 是数组的 连续 部分。

示例 1:
输入:nums = [4, 5, 0, -2, -3, 1], k = 5
输出:7
解释:
有 7 个子数组满足其元素之和可被 k = 5 整除:
[4, 5, 0, -2, -3, 1], [5], [5, 0], [5, 0, -2, -3], [0], [0, -2, -3], [-2, -3]

示例 2:
输入: nums = [5], k = 9
输出 : 0

提示 :

  • 1 <= nums.length <= 3 * 10^4
  • 10^4 <= nums[i] <= 10^4
  • 2 <= k <= 10^4

思路:

  • 同余定理:如果(a - b)% p = 0,那么 a % p = b % p;设 [0, x - 1] 区间内所有元素之和等于 a , [0, i] 区间内所有元素的和等于 b ,可得(b - a) % k == 0;

由同余定理可得, [0, x - 1] 区间与 [0, i] 区间内的前缀和同余。于是问题就变成:找到在 [0, i - 1] 区间内,有多少前缀和的余数等于 dp[i] % k 的即可。

代码如下:

		class Solution {
		public:
		    int subarraysDivByK(vector<int>& nums, int k)
		    {
		        int n = nums.size();
		        vector<int> dp(n + 1);
		        unordered_map<int, int> hash;
		        hash[0] = 1; // 0 这个数的余数
		
		        int ret = 0;
		        for (int i = 1; i <= n; i++)
		        {
		            // 当前位置的前缀和
		            dp[i] = dp[i - 1] + nums[i - 1];
		
		            // 因为 c++ 中负数对正数取余得到的是负数,所以要进行修正,修正后的结果:
		            int tp = (dp[i] % k + k) % k; // 相当于是 dp[i] % k
		
		            // 统计结果
		            // 如果这个余数在前面出现过,现在加上 nums[i - 1] 后,还是等于这个余数,说明这个数可以被 k 整数
		            if (hash.count(tp)) ret += hash[tp];
		
		            hash[tp]++;
		        }
		
		        return ret;
		    }
		};

7. 连续数组

题目链接 -> Leetcode -525.连续数组

Leetcode -525.连续数组

题目:给定一个二进制数组 nums, 找到含有相同数量的 0 和 1 的最长连续子数组,并返回该子数组的长度。

示例 1:
输入: nums = [0, 1]
输出 : 2
说明 : [0, 1] 是具有相同数量 0 和 1 的最长连续子数组。

示例 2 :
输入 : nums = [0, 1, 0]
输出 : 2
说明 : [0, 1] (或[1, 0]) 是具有相同数量0和1的最长连续子数组。

提示:

  • 1 <= nums.length <= 10^5
  • nums[i] 不是 0 就是 1

思路:设 i 为数组中的任意位置,用 sum[i] 表示 [0, i] 区间内所有元素的和。如果将 0 记为 -1 , 1 记为 1 ,问题就变成了找出一段区间,这段区间的和等于 0.

  • 想知道最大的「以 i 为结尾的和为 0 的⼦数组」,就要找到从左往右第⼀个 x1 使得 [x1, i] 区间内的所有元素的和为 0 。

  • 那么 [0, x1 - 1] 区间内的和就是 sum[i] 了。于是问题就变成:
    找到在 [0, i - 1] 区间内,第⼀次出现 sum[i] 的位置即可;

  • 我们可以用一个哈希表,⼀边求当前位置的前缀和,一边记录第一次出现该前缀和的位置。

代码如下:

		class Solution {
		public:
		    int findMaxLength(vector<int>& nums) 
		    {
		        int n = nums.size();
		
		        unordered_map<int, int> hash;
		
		        // 默认有一个前缀和为 0 的情况
		        hash[0] = -1; 
		        int retlen = 0, sum = 0;
		
		        for(int i = 0; i < n; i++)
		        {
		            // 计算当前位置的前缀和
		            sum += nums[i] == 0? -1 : 1;
		
		            if(hash.count(sum)) 
		                retlen = max(i - hash[sum], retlen);
		
		            // 存下标
		            else hash[sum] = i;
		        }
		
		        return retlen;
		    }
		};

8. 矩阵区域和

题目链接 -> Leetcode -1314.矩阵区域和

Leetcode -1314.矩阵区域和

题目:给你一个 m x n 的矩阵 mat 和一个整数 k ,请你返回一个矩阵 answer ,其中每个 answer[i][j] 是所有满足下述条件的元素 mat[r][c] 的和:

i - k <= r <= i + k,
j - k <= c <= j + k 且
(r, c) 在矩阵内。

示例 1:
输入:mat = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]], k = 1
输出: [[12, 21, 16], [27, 45, 33], [24, 39, 28]]

示例 2:
输入:mat = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]], k = 2
输出: [[45, 45, 45], [45, 45, 45], [45, 45, 45]]

提示:

  • m == mat.length
  • n == mat[i].length
  • 1 <= m, n, k <= 100
  • 1 <= mat[i][j] <= 100

思路:二维前缀和的简单应用题,画图写出公式即可;

代码如下:

		class Solution {
		public:
		    vector<vector<int>> matrixBlockSum(vector<vector<int>>& mat, int k) 
		    {
		        int m = mat.size(), n = mat[0].size();
		        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
		        vector<vector<int>> ret(m, vector<int>(n));
		
		        for(int i = 1; i <= m; i++)
		            for(int j = 1; j <= n; j++)
		                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1] + mat[i - 1][j - 1];
		
		        for(int i = 0; i < m; i++)
		        {
		            for(int j = 0; j < n; j++)
		            {
		                int x1 = max(0, i - k) + 1, y1 = max(0, j - k) + 1;
		                int x2 = min(m - 1, i + k) + 1, y2 = min(n - 1, j + k) + 1;
		                ret[i][j] = dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] + dp[x1 - 1][y1 - 1];
		            }
		        }
		
		        return ret;       
		    }
		};

到了这里,关于【算法专题】前缀和的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!

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    含义 : 前缀和实际上就是对于长度为n的数组, 我们新建立一个数组长度为n+1,第i个元素的值为前i个元素的和(包括第i个元素) 。 特点 : 前缀和数组比原数组多一个长度。 前缀和的第0个元素的值为0。 根据前缀和数组的特点,求前缀和时。我们只需要用第i个元素的值

    2024年02月08日
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  • 【尚硅谷】数据结构和算法——前缀、中缀、后缀表达式规则

    跟着B站的尚硅谷学习数据结构与算法,语言为java,目前是第七个代码内容——前缀、中缀、后缀表达式 课程传送门:尚硅谷——前缀、中缀、后缀表达式 1)前缀表达式又称波兰式, 前缀表达式 的运算符位于操作符之前。 2)举例说明:(3+4)*5-6 对应的前缀表达式就是 - *

    2024年02月03日
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  • 算法综合篇专题四:前缀和

    \\\"回忆里的我,比国王富有。奢侈的快乐~\\\"          同一维前缀和类似,这类题型都需要预处理出前缀和数组,再求和。         本题的核心在于,存在一个mid,使得sum(0,mid-1) == sum(mid+1,end)。所以,我们只需要求得 (0,mid-1) 区间的值 是否等于 (mid+1,end)的值,就可以判断该

    2024年02月07日
    浏览(33)
  • 【优选算法专栏】专题十:哈希表(一)

    本专栏内容为:算法学习专栏,分为优选算法专栏,贪心算法专栏,动态规划专栏以及递归,搜索与回溯算法专栏四部分。 通过本专栏的深入学习,你可以了解并掌握算法。 💓博主csdn个人主页:小小unicorn ⏩专栏分类:算法从入门到精通 🚚代码仓库:小小unicorn的代码仓库

    2024年04月13日
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  • 数据结构和算法专题---3、失效算法与应用

    本章我们会对失效算法做个简单介绍,包括常用的失效算法(先来先淘汰(FIFO)、最久未用淘汰(LRU)、最近最少使用(LFU))的概述、实现方式、典型场景做个说明。 失效算法常见于缓存系统中。因为缓存往往占据大量内存,而内存空间是相对昂贵,且空间有限的,那么

    2024年02月04日
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  • 【Java程序员面试专栏 数据结构】四 高频面试算法题:哈希表

    一轮的算法训练完成后,对相关的题目有了一个初步理解了,接下来进行专题训练,以下这些题目就是汇总的高频题目,一个O(1)查找的利器哈希表,所以放到一篇Blog中集中练习 题目 解题思路 时间 空间 两数之和 辅助哈希 使用map存储出现过的值,key为值大小,v

    2024年02月22日
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  • 数据结构和算法专题---4、限流算法与应用

    本章我们会对限流算法做个简单介绍,包括常用的限流算法(计数器、漏桶算法、令牌桶案发、滑动窗口)的概述、实现方式、典型场景做个说明。 限流是对系统的一种保护措施。即限制流量请求的频率(每秒处理多少个请求)。一般来说,当请求流量超过系统的瓶颈,则丢

    2024年02月04日
    浏览(49)
  • 【优选算法专栏】专题九:链表--------两数之和

    本专栏内容为:算法学习专栏,分为优选算法专栏,贪心算法专栏,动态规划专栏以及递归,搜索与回溯算法专栏四部分。 通过本专栏的深入学习,你可以了解并掌握算法。 💓博主csdn个人主页:小小unicorn ⏩专栏分类:算法从入门到精通 🚚代码仓库:小小unicorn的代码仓库

    2024年02月21日
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  • 【数据结构与算法】【12】前缀表达式、中缀表达式、后缀表达式

    什么是前缀表达式、中缀表达式、后缀表达式 前缀表达式、中缀表达式、后缀表达式,是通过树来存储和计算表达式的三种不同方式 以如下公式为例 ( a + ( b − c ) ) ∗ d ( a+(b-c) )*d ( a + ( b − c ) ) ∗ d 通过树来存储该公式,可以表示为 那么问题就来了,树只是一种抽象的数据

    2024年02月08日
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