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基本概念
在实际问题中，对于给定的函数 y = f(x)，通常通过实验观测在某个区间 [a, b] 上一系列点 x_i 上的函数值 y_i = f(x_i) 得到。当需要在这些观测点 x_0, x_1, ..., x_n 之间的某些点 x 上估计函数值时，插值法和拟合是两种常用的数学方法。
插值法
插值的目标是构造一个插值函数 P(x)，使得 P(x_i) = y_i 对于所有 i = 0, 1, ..., n 成立。简而言之，插值函数在已知数据点上完全通过（经过）所有给定的观测点。插值法的优点在于在观测点上的精确匹配，但在观测点之外的区域，插值函数可能会表现得非常不稳定。
常用的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。这些方法通过在已知数据点上构造一个多项式，然后使用该多项式在其他点上的值作为估计。
拉格朗日插值法
使用拉格朗日多项式，通过已知的观测点构造一个多项式，以满足插值条件。
牛顿插值法
利用牛顿插值公式，通过观测点上的差商构造一个插值多项式。具有递推的性质，方便在添加新的观测点时更新插值多项式。
分段插值法
将插值区间分为若干段，每一段内使用插值方法，如线性插值或其他插值方法。常见的分段插值方法包括分段线性插值和分段三次样条插值。
样条插值
使用样条函数来进行插值，其中样条是由多项式组成的分段函数。三次样条插值是最常见的样条插值方法，保证了在每个分段上插值函数的三阶导数的连续性。
拟合法
拟合的目标是找到一个函数 F(x)，使得在某种意义下它在已知数据点上的总偏差最小。拟合函数不要求在每个观测点上完全匹配，而是通过在整个数据集上找到一个相对平滑的函数来近似数据趋势。拟合方法的优点在于在某些情况下能够更好地适应噪声和变化。
常用的拟合方法包括最小二乘法，其中通过最小化观测点与拟合函数之间的残差平方和来找到最佳拟合曲线。多项式拟合、线性回归等都是最小二乘法的特例。
最小二乘法
通过最小化观测点与拟合函数之间的残差平方和，得到最佳拟合曲线。可用于线性拟合、多项式拟合以及非线性拟合。
多项式拟合
使用多项式函数逼近整个数据集。常见的多项式拟合包括线性拟合（一次多项式）、二次多项式拟合、以及更高次数的多项式。
指数拟合
使用指数函数进行数据拟合，适用于呈指数增长或指数衰减的趋势。
对数拟合
使用对数函数进行数据拟合，适用于呈对数增长或对数衰减的趋势。
高斯拟合
使用高斯函数进行数据拟合，特别适用于具有明显峰值或钟形曲线的数据。
局部加权回归（LOESS）
通过对每个数据点进行局部加权拟合，来得到整体的曲线。适用于数据集中存在明显的局部趋势的情况。
核密度估计
通过估计数据点附近的核密度来拟合整个数据分布。常用于非参数拟合，适用于复杂和多峰的数据分布。
选择插值还是拟合
在面对一个实际问题时，究竟应该使用插值还是拟合取决于具体情况。如果目标是准确地估计已知观测点上的函数值，并且在这些点上的精确匹配是至关重要的，则插值法可能更合适。但如果数据存在噪声或者观测点之间的关系不太明确，可能更倾向于使用拟合法，以得到一个更加平滑的函数来近似整个数据集。
在实际问题中，通常需要根据具体情况权衡这两种方法的优缺点，选择最适合问题需求的方法。这个选择过程涉及对数据性质、观测误差和模型复杂度的综合考虑，以达到对问题最优的数学建模和估计。因此，在数学建模中，插值和拟合都是有力的工具，具体的选择应该基于对问题的深刻理解和实际需求的分析。
习题5.2
1. 题目要求
2.解题过程
解：
这是一个典型的二维插值的问题。
有一点值得注意的是，题目的表格中，x与y的原点在左下角，并且正方向分别向右、向上。为了方便使用csape函数，我们需要的是行标为x、列标为y，原点在左上角，正方向分别向下、向右。
所以需要对数据矩阵进行先转置、再左右翻转的操作。
处理结果图下：
z
i
n
p
u
t
=
[
370
510
650
740
830
880
910
950
1430
1420
1380
1370
1350
470
620
760
880
980
1060
1090
1190
1450
1430
1410
1390
1370
550
730
880
1080
1180
1230
1270
1370
1460
1450
1430
1410
1390
600
800
970
1130
1320
1390
1500
1500
1500
1480
1450
1430
1400
670
850
1020
1250
1450
1500
1200
1200
1550
1500
1470
1440
1410
690
870
1050
1280
1420
1500
1100
1100
1600
1550
1320
1140
960
670
850
1020
1230
400
1400
1350
1550
1550
1510
1280
1110
940
620
780
830
1040
1300
900
1450
1600
1600
1430
1200
1050
880
580
720
800
900
700
1100
1200
1550
1600
1300
1080
950
800
450
650
700
500
900
1060
1150
1380
1600
1200
940
820
690
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
]
z_{input} = \begin{bmatrix} 370 & 510 & 650 & 740 & 830 & 880 & 910 & 950 & 1430 & 1420 & 1380 & 1370 & 1350\\ 470 & 620 & 760 & 880 & 980 & 1060 & 1090 & 1190 & 1450 & 1430 & 1410 & 1390 & 1370\\ 550 & 730 & 880 & 1080 & 1180 & 1230 & 1270 & 1370 & 1460 & 1450 & 1430 & 1410 & 1390\\ 600 & 800 & 970 & 1130 & 1320 & 1390 & 1500 & 1500 & 1500 & 1480 & 1450 & 1430 & 1400\\ 670 & 850 & 1020 & 1250 & 1450 & 1500 & 1200 & 1200 & 1550 & 1500 & 1470 & 1440 & 1410\\ 690 & 870 & 1050 & 1280 & 1420 & 1500 & 1100 & 1100 & 1600 & 1550 & 1320 & 1140 & 960\\ 670 & 850 & 1020 & 1230 & 400 & 1400 & 1350 & 1550 & 1550 & 1510 & 1280 & 1110 & 940\\ 620 & 780 & 830 & 1040 & 1300 & 900 & 1450 & 1600 & 1600 & 1430 & 1200 & 1050 & 880\\ 580 & 720 & 800 & 900 & 700 & 1100 & 1200 & 1550 & 1600 & 1300 & 1080 & 950 & 800\\ 450 & 650 & 700 & 500 & 900 & 1060 & 1150 & 1380 & 1600 & 1200 & 940 & 820 & 690\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots \end{bmatrix}
zinput=
370470550600670690670620580450⋮510620730800850870850780720650⋮650760880970102010501020830800700⋮740880108011301250128012301040900500⋮83098011801320145014204001300700900⋮88010601230139015001500140090011001060⋮910109012701500120011001350145012001150⋮950119013701500120011001550160015501380⋮1430145014601500155016001550160016001600⋮1420143014501480150015501510143013001200⋮138014101430145014701320128012001080940⋮13701390141014301440114011101050950820⋮13501370139014001410960940880800690⋮
接下来，使用csape和fnval函数进行三次样条插值。
最后，使用contourf展示等高线图。
3.程序
求解的MATLAB程序如下：
clc , clear
z_input = ...
[ ...
1350, 1370, 1390, 1400, 1410, 960, 940, 880, 800, 690, 570, 430, 290, 210, 150; ...
1370, 1390, 1410, 1430, 1440, 1140, 1110, 1050, 950, 820, 690, 540, 380, 300, 210; ...
1380, 1410, 1430, 1450, 1470, 1320, 1280, 1200, 1080, 940, 780, 620, 460, 370, 350; ...
1420, 1430, 1450, 1480, 1500, 1550, 1510, 1430, 1300, 1200, 980, 850, 750, 550, 500; ...
1430, 1450, 1460, 1500, 1550, 1600, 1550, 1600, 1600, 1600, 1550, 1500, 1500, 1550, 1550; ...
950, 1190, 1370, 1500, 1200, 1100, 1550, 1600, 1550, 1380, 1070, 900, 1050, 1150, 1200; ...
910, 1090, 1270, 1500, 1200, 1100, 1350, 1450, 1200, 1150, 1010, 880, 1000, 1050, 1100; ...
880, 1060, 1230, 1390, 1500, 1500, 1400, 900, 1100, 1060, 950, 870, 900, 936, 950; ...
830, 980, 1180, 1320, 1450, 1420, 400, 1300, 700, 900, 850, 810, 380, 780, 750; ...
740, 880, 1080, 1130, 1250, 1280, 1230, 1040, 900, 500, 700, 780, 750, 650, 550; ...
650, 760, 880, 970, 1020, 1050, 1020, 830, 800, 700, 300, 500, 550, 480, 350; ...
510, 620, 730, 800, 850, 870, 850, 780, 720, 650, 500, 200, 300, 350, 320; ...
370, 470, 550, 600, 670, 690, 670, 620, 580, 450, 400, 300, 100, 150, 250; ...
];
% 这个矩阵的x是列从左到右的方向，所以需要转置
z_input = z_input';
% y需要从小到大，把矩阵左右颠倒
z_input = fliplr(z_input);
x_input = 0:400:5600;
y_input = 0:400:4800;
% 三次样条插值
pp = csape({x_input, y_input}, z_input);
x = 0:50:5600;
y = 0:50:4800;
z = fnval(pp, {x, y});
% 展示等高线
graph = contourf(x,y,z',20);
clabel(graph);
4.结果
输出的等高线图如下：
本题成功使用二维插值求出了x,y方向间隔都为50点上的高程，存储在矩阵z当中。要想查询具体某点的高程，可以用鼠标在等高线图中点击，效果如下图。
习题5.3
1. 题目要求
2.解题过程
解：
本题思路较为简洁，使用lsqcurvefit函数进行最小二乘拟合，即可求出两个参数。
3.程序
求解的MATLAB程序如下：
clc, clear
x = 1:8;
y = [15.3, 20.5, 27.4, 36.6, 49.1, 65.6, 87.87, 117.6];
mf = @(cs, xdata) cs(1) * exp(cs(2)*xdata);
% cs:参数
cs = lsqcurvefit(mf, rand(2, 1), x, y);
cs
4.结果
求得参数a和b的估计值分别为：
a ^ = 11.43 , b ^ = 0.29 \hat{a}=11.43,\hat{b}=0.29 a^=11.43,b^=0.29
拟合的函数为：
y
=
11.34
e
0.29
x
y=11.34e^{0.29x}
y=11.34e0.29x
习题5.4
1. 题目要求
2.解题过程
解：
本题考察的是用梯度和三次样条插值方法求解水箱水位变化对应的流出速度问题。
主要步骤如下：
- 从表格中读取时间和水位的数据，并转换成米和小时为单位。
- 计算水箱中水的体积，公式为V = pi / 4 * D * D * h，其中D是水箱的直径，h是水位高度。
- 使用
gradient函数计算体积对时间的变化率，这相当于对体积求导。体积的变化率等于流出速度的相反数。 - 过滤掉任何负的流出速度值，这些是由于向水箱中泵水造成的。只保留正值和相应的时间点。
- 使用
csape函数创建一个以时间为自变量，流出速度为因变量的三次样条插值函数。这样可以平滑数据中的噪声或波动。 - 使用
ppval函数在更细密的时间间隔上评估插值函数，并在图上绘制原始数据点和插值曲线。
3.程序
求解的MATLAB程序如下：
clc, clear
% 写入表格中的所有数据，其中泵水的数据去除不用
t = [0, 3316, 6635, 10619, 13937, 17921, 21240, 25223, ...
28543, 32284, 39435, 43318, 44636, 49953, 53936, 57254, ...
60574, 64554, 68535, 71854, 75021, 85968, 89953, 93270];
h = [3175, 3110, 3054, 2994, 2947, 2892, 2850, 2795, 2752, ...
2697, 3550, 3445, 3350, 3260, 3167, 3087, 3012, 2927, ...
2842, 2767, 2697, 3475, 3397, 3340];
E = 0.3024; % 单位转换
D = 57 * E;
h = h / 100 * E;
t = t / 3600;
V = pi / 4 * D * D * h; % 计算体积
dV = gradient(V, t); % 对体积求导，就是体积的变化率
dV = -dV; % 流出流速的大小是体积变化率的相反数
% 流出速度一定是正的，但是在计算结果中出现了个别极端的负值
% 出现的原因是泵水的左右数据会受到泵水的影响
% 通过筛选，直接去除掉负的数值点，以及相对应的t
pos = dV.' > 0;
dV = dV(pos);
t = t(pos);
% 三次插值
pp = csape(t, dV);
t_detail = 0:0.1:t(end);
fdV = ppval(pp, t_detail);
% 展示图表
hold on
plot(t, dV, '*') % 这是原始数据，用*描出来
plot(t_detail, fdV) % 这是曲线
% 求一下24小时流量
sum = trapz(t_detail(1:241),fdV(1:241)) % 通过观察，第241个数据点刚好是24小时
4.结果
*f(t)*函数曲线绘制如下：
要想查看在任意时刻t(包括水泵灌水期间)流出水箱的流量f(t)，可以用鼠标在图中点击，效果如下图：
此外，利用积分（通过观察，第241个数据点刚好是24小时，所以从1到241个数据点积分），可以求出24小时的总流量为1358立方米。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-755268.html
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到了这里，关于【数学建模】《实战数学建模：例题与讲解》第四讲-插值与拟合（含Matlab代码）的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
