矩阵多项式
就是
f
(
x
)
变成了
f
(
A
)
就是 f(x) 变成了 f(A)
就是f(x)变成了f(A)
难点在于
A
k
A^k
Ak不好算。
解决方案是利用
J
o
r
d
a
n
Jordan
Jordan 标准型来做。
f
(
A
)
=
P
d
i
a
g
(
f
(
J
1
)
,
f
(
J
2
)
,
…
,
f
(
J
r
)
)
P
−
1
\Large f(A) = Pdiag(f(J_1),f(J_2),\dots,f(J_r))P^{-1}
f(A)=Pdiag(f(J1),f(J2),…,f(Jr))P−1
其中，
f
(
J
i
)
=
[
f
(
λ
i
)
f
′
(
λ
i
)
…
1
(
d
i
−
1
)
f
(
d
i
−
1
)
(
λ
i
)
f
(
λ
i
)
⋱
f
′
(
λ
i
)
f
(
λ
i
)
]
d
i
×
d
i
\Large f(J_i)= \left[ \begin{matrix} f(\lambda_i) &f'(\lambda_i)&\dots & \frac{1}{(d_i-1)}f^{(d_i-1)}(\lambda_i) \\ & f(\lambda_i) &\\ & &\ddots & f'(\lambda_i) \\ & & &f(\lambda_i)\\ \end{matrix} \right]_{d_i\times d_i}
f(Ji)=
f(λi)f′(λi)f(λi)…⋱(di−1)1f(di−1)(λi)f′(λi)f(λi)
di×di
最小多项式
化零多项式：
f
(
A
)
=
O
n
×
n
f(A)=O_{n\times n}
f(A)=On×n
f
(
λ
)
f(\lambda)
f(λ) ，即A 的特征多项式，也是化零多项式。
定义：已知
A
∈
C
n
×
n
A\in C^{n\times n}
A∈Cn×n ，在
A
A
A 的化零多项式中，次数最低且首项系数为1的化零多项式称为
A
A
A 的最小多
项式，通常记为
m
(
λ
)
m(\lambda)
m(λ)
jordan 标准型的
m
(
λ
)
m(\lambda)
m(λ) 为
(
λ
−
λ
i
)
d
i
(\lambda - \lambda_i)^{d_i}
(λ−λi)di
那整个矩阵A的最小多项式就是
m
1
(
λ
)
,
m
2
(
λ
)
,
…
,
m
r
(
λ
)
m_1(\lambda),m_2(\lambda),\dots,m_r(\lambda)
m1(λ),m2(λ),…,mr(λ)的最小公倍式。
求得最小多项式
m
(
λ
)
=
(
λ
−
λ
1
)
d
1
(
λ
−
λ
2
)
d
2
…
(
λ
−
λ
s
)
d
s
\large m(\lambda) = (\lambda-\lambda_1)^{d_1}(\lambda-\lambda_2)^{d_2}\dots (\lambda-\lambda_s)^{d_s}
m(λ)=(λ−λ1)d1(λ−λ2)d2…(λ−λs)ds
写
p
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
2
⋯
+
a
m
−
1
m
−
1
，其中
m
=
∑
i
=
1
s
d
i
f
(
x
)
=
p
(
x
)
f
(
k
)
(
λ
i
)
=
p
(
k
)
(
λ
i
)
,
i
=
1
,
2
,
…
,
s
;
k
=
1
,
2
,
…
,
d
i
−
1.
解得
a
0
.
a
1
,
…
,
a
m
−
1
后
:
f
(
A
)
=
a
m
−
1
A
m
−
1
+
a
m
−
2
A
m
−
2
+
⋯
+
a
1
A
+
a
0
I
\large p(x) = a_0 + a_1x+a_2^2\dots+a_{m-1}^{m-1}，其中 m = \sum_{i=1}^{s}{d_i}\\ f(x) = p(x)\\ f^{(k)}(\lambda_i)=p^{(k)}(\lambda_i),i=1,2,\dots,s;k=1,2,\dots,d_i-1.\\ 解得a_0.a_1,\dots,a_{m-1}后:\\ f(A)=a_{m-1}A^{m-1}+a_{m-2}A^{m-2}+\dots+a_1A+a_0I\\
p(x)=a0+a1x+a22⋯+am−1m−1，其中m=i=1∑sdif(x)=p(x)f(k)(λi)=p(k)(λi),i=1,2,…,s;k=1,2,…,di−1.解得a0.a1,…,am−1后:f(A)=am−1Am−1+am−2Am−2+⋯+a1A+a0I
求矩阵函数方法一： 求得 J 和相似变换矩阵 P 求得J 和 相似变换矩阵 P 求得J和相似变换矩阵P
求矩阵函数方法二： 利用最小多项式 m ( λ ) 利用最小多项式m(\lambda) 利用最小多项式m(λ)
指数矩阵函数和三角矩阵函数：
文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-756177.html
矩阵函数的幂级数：
文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-756177.html
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