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〇、概述
在实数范围内，有些运算仍然不能进行，比如 − 9 \sqrt{-9} −9、 − 10 4 \sqrt[4]{-10} 4−10 等等复数开偶次方的情况无法计算，为了使这种情况有解，便将数集扩充，便有了复数集。
复型（复数类型）：我们把形如 z = a + b i z = a + b\textbf{i} z=a+bi 的数称为 复数。
在 matlab 中的复数就称为 复型（没有历史考证，看的网上有人这么叫，可能不专业）。
一般情况下没有使用复型的必要，所以没有特殊需求的小伙伴可以跳过本节哦😲！
一、复数
1. 复数概述
复型（复数类型）：我们把形如
z
=
a
+
b
i
z = a + b\textbf{i}
z=a+bi 的数称为 复数，例如 10 + 3i、-1 + 10i、6 - 8i 等等。
-
a称为 实部 -
b称为 虚部 -
i称为 虚数单位
当实部a为 0 ，虚部b不为 0 时，复数z为 纯虚数。当实部b为 0 时，复数z为 实数。
2. 复数运算
定义两个复数 ： z 1 = a + b i z1 = a + b\textbf{i} z1=a+bi 、 z 2 = c + d i z2 = c + d\textbf{i} z2=c+di。
(1) 基本运算
① 复数的加法
复数的和仍然是复数，将实部与实部相加，虚部与虚部相加即可。（相同单位的加在一起）
z 1 + z 2 = ( a + c ) + ( b + d ) i z1 + z2 = (a + c) + (b + d)\textbf{i} z1+z2=(a+c)+(b+d)i
② 复数的乘法
复数的乘积也仍是一个复数，和初中学习的多项式相乘差不多。
z 1 × z 2 = a c + a d i + b c i + b d i 2 z1 \times z2 = ac + ad\textbf{i} + bc\textbf{i} + bd\textbf{i}^{2} z1×z2=ac+adi+bci+bdi2
由于： i 2 = − 1 \textbf{i}^{2} = -1 i2=−1
z 1 + z 2 = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i z1 + z2 = (ac - bd) + (ad + bc)\textbf{i} z1+z2=(ac−bd)+(ad+bc)i
③ 复数的模
复数的模：复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值，记作
∣
z
∣
|z|
∣z∣。
∣
a
+
b
i
∣
=
a
2
+
b
2
| a+b\textbf{i}|=\sqrt{a^{2} + b^{2}}
∣a+bi∣=a2+b2
(2) 共轭复数
若 z = a + b i z = a + b\textbf{i} z=a+bi，则共轭复数 z ‾ = a − b i \overline{z} = a -b\textbf{i} z=a−bi。
① 共轭复数的性质
共轭复数有以下几点给常见的性质，利用这些性质能够帮助我们更好地计算。
- ∣ z ∣ = ∣ z ‾ ∣ |z|=|\overline{z}| ∣z∣=∣z∣
- z + z ‾ = 2 a z+\overline{z}=2a z+z=2a， z − z ‾ = 2 b i z-\overline{z}=2b\textbf{i} z−z=2bi
- z × z ‾ = ∣ z ∣ 2 = a 2 + b 2 z\times\overline{z}=|z|^{2}=a^{2}+b^{2} z×z=∣z∣2=a2+b2
(3) 复数的辐角
复数的模与辐角是复数三角形式表示的两个基本元素
- 复数所对应的向量长度称为复数的 幅值
- 该向量与实轴正方向的夹角为复数的 辐角，下图中的
θ就是 辐角。
则有 ：
t
a
n
θ
=
b
a
tanθ=\frac{b}{a}
tanθ=ab
由直角坐标与极坐标的关系可知，非零有穷复数
z
z
z可以用其模
r
=
∣
z
∣
r=|z|
r=∣z∣与辐角
θ
θ
θ来表示，则有：
z
=
r
(
c
o
s
θ
+
s
i
n
θ
i
)
z=r(cosθ +sinθ\textbf{i})
z=r(cosθ+sinθi)
二、复型创建
复数的创建有两种方式，直接创建 与 使用complex()函数创建 。
1. 直接创建
在 matlab 中，i 和 j 表示基本虚数单位，可以使用它们来创建复数。
>> a=1+2i
a =
1.0000 + 2.0000i
>>
>> b=1+2j
b =
1.0000 + 2.0000i
>>
>> whos
Name Size Bytes Class Attributes
a 1x1 16 double complex
b 1x1 16 double complex
2. 使用 complex函数 创建
matlab 中也提供了 complex() 函数用来创建 复数类型，使用方式如下：
>> c = complex(1,2)
c =
1.0000 + 2.0000i
>>
>> whos
Name Size Bytes Class Attributes
a 1x1 16 double complex
b 1x1 16 double complex
c 1x1 16 double complex
三、复型相关函数
1. abs函数
abs() 函数用于返回复数 z 的模，使用如下：
>> z = 1 + 2i
z =
1.0000 + 2.0000i
>>
>> abs(z) %返回复数的模
ans =
2.2361
2. imag函数 与 real函数
-
imag()函数用于返回复数 z 的虚部 -
real()函数用于返回复数z的实部
使用代码如下：
>> z = 1 + 2i
z =
1.0000 + 2.0000i
>>
>> imag(z) %返回复数的虚部
ans =
2
>>
>> real(z) %返回复数的实部
ans =
1
3. conj函数
conj() 用于计算复数 z 的共轭复数。使用如下：
>> z = 1 + 2i
z =
1.0000 + 2.0000i
>>
>> conj(z) %计算复数的共轭复数
ans =
1.0000 - 2.0000i
4. angle函数
angle() 函数用于计算复数 z 的辐角。使用如下：
>> z = 1 + 2i
z =
1.0000 + 2.0000i
>>
>> angle(z) %计算复数的辐角
ans =
1.1071
5. complex函数
complex() 函数不仅可以向上面一样创建复数，也可以用来创建复数数组。使用如下：文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-757217.html
>> a = double([1;2;3;4]) %复数的实部
a =
1
2
3
4
>>
>> b = double([5;6;7;8]) %复数的虚部
b =
5
6
7
8
>>
>> z = complex(a,b) %创建复数数组
z =
1.0000 + 5.0000i
2.0000 + 6.0000i
3.0000 + 7.0000i
4.0000 + 8.0000i
文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-757217.html
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