玩转线性代数(23)线性组合与线性表示的应用的笔记,相关证明以及例子见原文
矩阵乘法与线性表示
设有
A
m
∗
n
B
n
∗
l
=
C
m
∗
l
A_{m*n}B_{n*l}=C_{m*l}
Am∗nBn∗l=Cm∗l,那么A、B矩阵的行、列向量组与C的行、列向量组之间有什么关系呢?
先看C的行向量组,
C
=
A
B
C=AB
C=AB,根据初等变换的知识,A在B左边,说明是对B进行的行变换(此时的行变换不一定是初等行变换,也不一定是可逆的),将B的行变成了C的行,故C的行向量组可以由B的行向量组来线性表示,如下:
(
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋮
⋮
a
m
1
a
m
2
⋯
a
m
n
)
(
b
1
T
b
2
T
⋮
b
n
T
)
=
(
c
1
T
c
2
T
⋮
c
m
T
)
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1^T\\ b_2^T\\ \vdots \\ b_n^T\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} c_1^T\\ c_2^T\\ \vdots \\ c_m^T\\ \end{pmatrix}
a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋮⋯a1na2n⋮amn
b1Tb2T⋮bnT
=
c1Tc2T⋮cmT
同理,C的列向量组可由A的列向量组线性表示
(
c
1
c
2
⋯
c
l
)
=
(
a
1
a
2
⋯
a
n
)
(
b
11
b
12
⋯
b
1
n
b
21
b
22
⋯
b
2
n
⋮
⋮
⋮
⋮
b
n
1
b
n
2
⋯
b
n
l
)
\begin{pmatrix} c_1 & c_2 & \cdots & c_l \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nl} \\ \end{pmatrix}
(c1c2⋯cl)=(a1a2⋯an)
b11b21⋮bn1b12b22⋮bn2⋯⋯⋮⋯b1nb2n⋮bnl
文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-757317.html
矩阵等价与向量组等价
矩阵等价是两个矩阵可经过初等变换来相互转化;两个向量组等价是指它们可以相互线性表示。两个向量组等价的判断条件也已经清楚,就是
R
(
A
)
=
R
(
B
)
=
R
(
A
,
B
)
R(A)=R(B)=R(A,B)
R(A)=R(B)=R(A,B)
矩阵等价有行等价、列等价和等价有一种形式,如何判断两个矩阵等价?首先矩阵是同型矩阵,其次矩阵A与B的秩相等。因为若
R
(
A
)
=
R
(
B
)
R(A)=R(B)
R(A)=R(B),则A与B的标准形是相同的,即
A
∼
F
=
(
E
r
0
0
0
)
A\sim F=\begin{pmatrix} E_r & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}
A∼F=(Er000),同时
B
∼
F
=
(
E
r
0
0
0
)
B\sim F=\begin{pmatrix} E_r & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}
B∼F=(Er000)
根据等价矩阵的传递性知,
A
∼
B
A\sim B
A∼B。
由此可知,对两个向量组
A
:
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
m
,
B
:
b
1
,
b
2
,
⋯
,
b
l
A:a_1,a_2,\cdots,a_m, B:b_1,b_2,\cdots,b_l
A:a1,a2,⋯,am,B:b1,b2,⋯,bl和两个矩阵
A
=
(
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
m
)
,
B
:
(
b
1
,
b
2
,
⋯
,
b
l
)
A=(a_1,a_2,\cdots,a_m), B:(b_1,b_2,\cdots,b_l)
A=(a1,a2,⋯,am),B:(b1,b2,⋯,bl),向量组A与B等价
⇒
\Rightarrow
⇒矩阵A与B等价,反之不成立。
若矩阵A与B等价,可以推出的结论:
(1)若
A
∼
r
B
A^r_{\sim}B
A∼rB,则存在可逆矩阵P,使PA=B,即B=PA,所以B的行向量组可由A的行向量组线性表示,同时有
A
=
P
−
1
B
A=P^{-1}B
A=P−1B,所以A的行向量组也可以由B的行向量组线性表示,说明A与B的行向量组等价;
(2)若
A
∼
c
B
A^c_{\sim}B
A∼cB,A与B的列向量组是等价的。
其实线性表示与线性组合这些概念也可以用到方程组上.对方程组A的各个方程作线性运算所得到的一个方程就称为方程组A的一个线性组合;若其中一个方程可以写成其它方程的线性组合,则称该方程可由其它方程线性表示,若方程组B的每个方程都可由方程组A的线性表示,就称方程组B能由方程组A线性表示,这时方程组A 的解一定是方程组B的解;若方程组A与方程组B能相互线性表示,就称这两个方程组等价,等价的方程组一定同解
为什么方程组B能由方程组A线性表示,方程组A 的解一定是方程组B的解?
理解:方程组B能由方程组A线性表示,即若
x
∈
A
x\in A
x∈A一定有
x
∈
B
x\in B
x∈B,所以A的解都是B的解,B的解集合范围大。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-757317.html
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