拉普拉斯变换的原理与应用
本文使用visual Studio MFC 平台实现图像增强中的拉普拉斯变换,同时拉普拉斯一般不会单独使用,与其他平滑操作相结合,本文使用了拉普拉斯与直方图均衡化以及与中值滤波相结合,也对三种方式进行了对比
关于基础工程的创建可以参考
01-Visual Studio 使用MFC 单文档工程绘制单一颜色直线和绘制渐变颜色的直线02-visual Studio MFC 绘制单一颜色三角形、渐变颜色边框三角形、渐变填充三角形、边框渐变的正方形与填充渐变的正方形实例
03-visual Studio MFC 平台实现图像增强中的线性变换(负变换)和非线性变换(对数与幂律)
04-MFC实现图像增强–分段式变换(灰度级切片,对比度拉伸,Bit-plane slicing)
05-visual Studio MFC 平台实现对灰度图添加椒盐噪声,并进行均值滤波与中值滤波
一、 拉普拉斯变换的原理
拉普拉斯变换的原理如下:
拉普拉斯变换是图像处理中一种用于增强图像边缘的技术。它可以通过高通滤波来突出图像中的边缘特征。拉普拉斯变换的离散形式通常通过卷积运算实现。
- 离散拉普拉斯运算符: 在离散图像中,拉普拉斯运算符可以表示为:
∇ 2 f ( x , y ) = f ( x + 1 , y ) + f ( x − 1 , y ) + f ( x , y + 1 ) + f ( x , y − 1 ) − 4 f ( x , y ) \nabla^2 f(x, y) = f(x+1, y) + f(x-1, y) + f(x, y+1) + f(x, y-1) - 4f(x, y) ∇2f(x,y)=f(x+1,y)+f(x−1,y)+f(x,y+1)+f(x,y−1)−4f(x,y)
其中, f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 是图像在位置 ( x , y ) (x, y) (x,y)处的灰度值。
对于离散图像,拉普拉斯变换可以使用以下的卷积核来实现:
0 -1 0
-1 4 -1
0 -1 0
这个卷积核对图像进行卷积运算,计算每个像素与其周围像素的差异,从而强调了图像中的边缘。在卷积运算中,将卷积核与图像的每个像素进行乘法,然后将结果相加。这个过程在整个图像上进行,产生一个新的图像,其中强调了边缘。
2. 连续拉普拉斯运算符: 在连续图像中,拉普拉斯运算符可以表示为:
∇ 2 f ( x , y ) = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 \nabla^2 f(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} ∇2f(x,y)=∂x2∂2f+∂y2∂2f
它表示图像中各个点的强度与其周围点的强度之差的二阶导数。
- 应用: 对图像应用拉普拉斯变换将突出显示图像中的边缘和细节,因为这些区域通常具有灰度变化。拉普拉斯变换后的图像可以通过以下公式得到:
LaplacianImage = OriginalImage − SmoothedImage \text{LaplacianImage} = \text{OriginalImage} - \text{SmoothedImage} LaplacianImage=OriginalImage−SmoothedImage
这里,
SmoothedImage
\text{SmoothedImage}
SmoothedImage 是原始图像经过平滑处理(如高斯模糊)后的图像。
在实际应用中,拉普拉斯变换通常用于边缘检测或图像锐化。然而,由于它对噪声敏感,常常需要与其他技术一起使用,例如高斯滤波,以减小噪声的影响。
在数字图像处理中,通常使用卷积操作来实现拉普拉斯变换。卷积核的选择影响着变换的效果。拉普拉斯变换对于边缘检测和图像增强等任务非常有用。
二、 拉普拉斯实现
2.1单独拉普拉斯实现代码
// 定义拉普拉斯核
int laplacianKernel[3][3] = {
{ -1, -1, -1 },
{ -1, 8, -1 },
{ -1, -1, -1 }
};
// 应用卷积运算
for (int y = 1; y < bmpHeight - 1; ++y) {
for (int x = 1; x < bmpWidth - 1; ++x) {
int sum = 0;
for (int i = -1; i <= 1; ++i) {
for (int j = -1; j <= 1; ++j) {
sum += laplacianKernel[i + 1][j + 1] * gray_data[(y + i) * bmpWidth + (x + j)];
}
}
laplacian_data[y * bmpWidth + x] = static_cast<unsigned char>(sum);
}
}
CClientDC dc(this);
CDC* pDC = &dc;
m_pBmp->drawGrayBmp(pDC, laplacian_data, bmpWidth, bmpHeight, offset_left, offset_top +4 * bmpHeight+30);
// 释放临时数组内存
delete[] laplacian_data;
单独拉普拉斯实现效果
2.2 拉普拉斯与直方图均衡化相结合实现代码
// 计算直方图
int histogram[256] = { 0 };
for (int i = 0; i < bmpWidth * bmpHeight; ++i) {
histogram[gray_data[i]]++;
}
// 计算累积分布函数(CDF)
int cdf[256] = { 0 };
cdf[0] = histogram[0];
for (int i = 1; i < 256; ++i) {
cdf[i] = cdf[i - 1] + histogram[i];
}
// 映射灰度级别到临时变量
unsigned char* temp_data = new unsigned char[bmpWidth * bmpHeight];
int min_cdf = cdf[0];
for (int i = 0; i < bmpWidth * bmpHeight; ++i) {
temp_data[i] = static_cast<unsigned char>(255 * (cdf[gray_data[i]] - min_cdf) / (bmpWidth * bmpHeight - min_cdf));
}
// 应用拉普拉斯变换
unsigned char* laplacian_data = new unsigned char[bmpWidth * bmpHeight];
int laplacianKernel[3][3] = {
{ -1, -1, -1 },
{ -1, 8, -1 },
{ -1, -1, -1 }
};
for (int y = 1; y < bmpHeight - 1; ++y) {
for (int x = 1; x < bmpWidth - 1; ++x) {
int sum = 0;
for (int i = -1; i <= 1; ++i) {
for (int j = -1; j <= 1; ++j) {
sum += laplacianKernel[i + 1][j + 1] * temp_data[(y + i) * bmpWidth + (x + j)];
}
}
laplacian_data[y * bmpWidth + x] = static_cast<unsigned char>(sum);
}
}
// 绘制均衡化后的图像
//m_pBmp->drawGrayBmp(pDC, temp_data, bmpWidth, bmpHeight, offset_left + 900, offset_top);
// 绘制经拉普拉斯变换后的图像
m_pBmp->drawGrayBmp(pDC, laplacian_data, bmpWidth, bmpHeight, offset_left+bmpWidth, offset_top + 4* bmpHeight + 30);
拉普拉斯与直方图均衡化相结合实现效果
2.3 拉普拉斯与中值滤波相结合实现
// 中值滤波
for (int y = 1; y < bmpHeight - 1; ++y) {
for (int x = 1; x < bmpWidth - 1; ++x) {
// 获取3x3邻域内的像素值
unsigned char neighborhood[9] = {
gray_data[(y - 1) * bmpWidth + x - 1], gray_data[(y - 1) * bmpWidth + x], gray_data[(y - 1) * bmpWidth + x + 1],
gray_data[y * bmpWidth + x - 1], gray_data[y * bmpWidth + x], gray_data[y * bmpWidth + x + 1],
gray_data[(y + 1) * bmpWidth + x - 1], gray_data[(y + 1) * bmpWidth + x], gray_data[(y + 1) * bmpWidth + x + 1]
};
// 对邻域内像素值进行排序
std::sort(neighborhood, neighborhood + 9);
// 取中值作为当前像素值
temp_data[y * bmpWidth + x] = neighborhood[4];
}
}
// 拉普拉斯变换
int laplacianKernel[3][3] = {
{ -1, -1, -1 },
{ -1, 8, -1 },
{ -1, -1, -1 }
};
// 应用卷积运算
for (int y = 1; y < bmpHeight - 1; ++y) {
for (int x = 1; x < bmpWidth - 1; ++x) {
int sum = 0;
for (int i = -1; i <= 1; ++i) {
for (int j = -1; j <= 1; ++j) {
sum += laplacianKernel[i + 1][j + 1] * temp_data[(y + i) * bmpWidth + (x + j)];
}
}
median_laplacian_data[y * bmpWidth + x] = static_cast<unsigned char>(sum);
}
}
CClientDC dc(this);
CDC* pDC = &dc;
// 显示结果
//m_pBmp->drawGrayBmp(pDC, temp_data, bmpWidth, bmpHeight, offset_left, offset_top);
m_pBmp->drawGrayBmp(pDC, median_laplacian_data, bmpWidth, bmpHeight, offset_left + 2*bmpWidth, offset_top + 4 * bmpHeight + 30);
中值滤波与拉普拉斯相结合实现效果
文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-757517.html
可以观看出在添加一些平滑操作后,与单独进行拉普拉斯变换还是有一些区别的,当然最后实现的效果可以调节拉普拉斯算子进行调节,以达到相应的效果。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-757517.html
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