【非交互式零知识证明】（下）
继续上一节的内容，我们首先再回顾一下经典交互式零知识证明。
1.交互式零知识证明（续）
交互式零知识证明的一般模型如下：
（1）证明者和验证者共享一个公共输入，证明者可能拥有某个秘密输入；
（2）如果验证者认可证明者的响应，则输出Accept，否则输出Reject。
经典交互式零知识证明除了应用在NP问题中，还可以应用在身份鉴别协议和Sigma协议簇中。
1.身份鉴别协议
在一个安全的身份认证协议中，要保证用户身份识别的安全性，身份鉴别协议至少要满足以下条件：
1）证明者P能够向验证者V证明他的确是P（P向V证明自己有P的私钥）。
2）在证明者P向验证者V证明他的身份后，验证者V没有获得任何有用的信息（V不能模仿P向第三方证明他是P ）。
下面介绍三种经典的身份鉴别协议：
1）Feige-Fiat-Shamir身份鉴别协议
☆简化版本
过程图如下：
①系统初始化
首先信任中心TA选择并公布一个RSA型模数n=p·q，并对素数p和q保密，然后对于参与者，每一个参与者P选择一个与n互素的秘密值s，其中1≤s≤n-1，并计算v=s2(mod n)，并向TA注册v为其公钥。
②鉴别协议流程
1）证明者选择一个随机数r，1≤r≤n-1，计算并发送x=r2(mod n)给V。
2）验证者随机选择一个比特值α∈R{0,1}，并将α发送给证明者。
3）证明者根据α做出不同的响应：
若α=0，令y=r;若α=1，令y=r·s(mod n)。
4）验证者验证等式y2=x·vα(mod n)。如果等式不成立或者y=0，验证者不接受证明。否则，进行下一轮证明。验证者执行上述证明过程t轮后，且均未拒绝，则验证者接受证明者的证明，即相信它的身份（很简单，可以在纸上自己推一下）。
性质分析
1.完备性：如果证明者知道秘密值s，他对于不同的α都可以做出正确的响应。显然，诚实验证者接收的概率为1.
2.可靠性：如果证明者不知道秘密值s，那么他只能够以1/2的概率欺骗验证者。执行t轮后，欺骗概率下降到2-t.
3.零知识性：协议交互过程中泄露的信息有：x=r2(mod n),y=r或y=r·s(mod n)，即(x,y)。模拟器的模拟方式：随机选择y，并令x=y2（当α=0时）或x=y2/v(当α=1时)。模拟器产生的(x,y)和真实交互的(x,y)是计算不可区分的。
这里的计算不可区分性这个概念不是很好懂，我查阅了很多资料，我理解的计算不可区分和统计不可区分大致就是：如果挑战者的能力是无限的，无限能力的挑战者都不能挑战成功那么他就是统计不可区分；如果挑战者的能力是多项式的，多项式能力的挑战者不能挑战成功那么他就是计算不可区分的（一般情况下，我们认为超过多项式时间复杂度的算法计算机就没法处理了）。
☆完整版本
系统初始化（一次性）
首先信任中心TA选择并公布一个RSA型模数n=p·q，并对素数p和q保密，然后对于参与者，每一个参与者选择k个与n互素的秘密值s1,s2,…,sk，1≤si≤n-1，并计算vi=si2（mod n)，并向TA注册（v1,v2,…vk）为其公钥。
鉴别协议流程：
1）证明者选择一个随机数𝑟，1 ≤r≤n-1，计算并发送x=r2(mod n) 给V。
2）验证者随机选择𝑘个比特值α向量=(α1，α2，…，αk)并将𝜶发送给P。
3）P计算
y
=
r
⋅
∏
i
=
1
k
S
j
a
i
(
m
o
d
n
)
y=r\cdot \prod_{i=1}^{k}{S_{j}}^{a_{i}}(mod\; n)
y=r⋅i=1∏kSjai(modn)
，
并将𝑦发送给V。
4）V验证等式
∏
i
=
1
k
S
j
a
i
(
m
o
d
n
)
\prod_{i=1}^{k}{S_{j}}^{a_{i}}(mod \; n)
i=1∏kSjai(modn)
如果等式不成立或者y=0，V不接受证明。否则，进行下一轮证明。
验证者V执行上述证明过程 𝑡轮 后，且均未拒绝，则验证者接受证明者P的证明，即相信他的身份。
（与简化版本推导的过程类似）
性质分析
1.完备性：显然，诚实验证者接收的概率为1.
2.可靠性：如果证明者不知道秘密值s，那么他只能以1/2k的概率欺骗验证者。执行t轮后，欺骗概率下降到2-kt。
3.零知识性：同样地，与简化版本一致，交互数据元组(x,y)可以被模拟器模拟，达到了计算不可区分性。
总结
1.安全假设
无论是简化版本还是完整版本，协议的安全性依赖于未知分解的大合数的模平方根求解难题。这个问题等价于大合数分解困难问题。
2.参数选择
以完整版本为例，k·t（简化版本中k=1）需要足够大，才能够保证非诚实证明者欺骗成功的概率几乎可忽略。同时，n的分解困难性也是安全性考虑之一。
3.安全平衡
每增加一轮协议，计算量和通信量均上升，但安全性越高。因此，需要在保证足够安全的前提下，减少协议重复轮数t，提升效率。
2）Guillo-Quisquater身份鉴别协议
Guillo和Quisquater给出了一个身份鉴别方案，这个协议需要可信第三方参与、三轮交互、利用RSA公钥密码体制。
过程如下图：
①系统初始化
1）信任中心TA选择并公布一个RSA型模数𝑛=𝑝⋅𝑞，并对素数𝑝和𝑞保密。令φ=(p-1)(q-1) ，选取𝑒使得gcd（𝑒, 𝜙 ）=1，计算𝑑=1/e 𝑚𝑜𝑑 𝜙 ，公开(𝑒, 𝑛)。
2）用户P选取唯一性身份IP ，通过哈希函数变换得到哈希值JP=H(IP), TA给A分配密钥SP=IP-d (mod n) 。
②鉴别协议流程
1）P产生随机数𝑟，1≤𝑟≤𝑛-1，计算𝑥=r(e) 𝑚𝑜𝑑 𝑛 ， 并将 IP , 𝑥 发送给V；
2）V选取随机数𝑢，1 ≤ 𝑢 ≤𝑒，将𝑢发送给P。
3）P计算y=SuPmod n，并将y发送给V。
4）V计算JP=H(IP),并验证JUA·yemod n不为0且等于𝑥。如果成立，则此轮接收证明；否则，输出拒绝。
**完备性：**显然，诚实验证者接收的概率为1。
**可靠性：**如果证明者不知道秘密值𝑆p ，那么他只能够以1/𝑒的概率欺骗验证者。执行𝑡轮后，欺骗概率下降到e-t。
**零知识性：**可被模拟器模拟，达到计算不可区分性。 如果𝑒比较大时，每轮的错误概率就会很低，那么需要重复执行的轮数𝑡就可以很小，甚至为1。
2.非交互式零知识证明
采用Hash函数的方法来把一个交互式的证明系统变成非交互式的方法被称为Fiat-Shamir变换，它由密码学老前辈Amos Fiat和Adi Shamir两人在1986年提出。
Fiat-Shamir变换，又叫Fiat-Shamir Heurisitc（启发式），或者Fiat-Shamir Paradigm（范式）。是Fiat和Shamir在1986年提出的一个变换，其特点是可以将交互式零知识证明转换为非交互式零知识证明。这样就通过减少通信步骤而提高了通信的效率。
菲亚特-沙米尔（Fiat-Shamir）启发式算法允许将交互步骤替换为非交互随机数预言机（Random oracle）。随机数预言机，即随机数函数，是一种针对任意输入得到的输出之间是项目独立切均匀分布的函数。理想的随机数预言机并不存在，在实现中，经常采用密码学哈希函数作为随机数预言机。
以Schonor协议为例，交互式零知识证明的过程如下：
假设Alice 拥有一个秘密数字a，我们把这个数字当做私钥: sk，然后把它映射到椭圆曲线群上的一个点 aG*，（简写为 aG），这个点我们把它当做公钥: PK。（Schnorr 协议充分利用了有限域和循环群之间单向映射，实现了简洁的零知识证明安全协议）Alice 要向 Bob 证明她拥有 PK 对应的私钥 sk，那么如何证明呢。
第一步：为了保证零知识，Alice 需要先产生一个随机数r，这个随机数是用来保护私钥无法被 Bob 抽取出来，会映射到椭圆曲线群上的点rG上，记为R发送给Bob；
第二步：Bob 要提供一个随机数进行挑战，把它称为 c；
第三步：Alice 根据挑战数计算 z = r + a * c，然后把 z 发给 Bob，Bob通过式子进行检验：zG ?= R + cPK*；
由于z=r+csk，等式两边添加相同的生成元可得：zG= rG + c(aG)=cPK+R。就可以验证Alice确实拥有私钥sk*，但是验证者Bob并不能得到私钥sk的值，因此这个过程是零知识的，并且是交互式的。
由于椭圆曲线上的离散对数问题，知道R和G的情况下通过R=rG解出r是不可能的，所以保证了r的私密性。由这个问题也可以推广到一般问题，假如证明者对于验证者第一次提出的问题，回答正确的话，验证者就有p的概率相信证明者自己的命题，第二次p+p²，…，第n次达到1-pn的时候，当n越来越大，这个概率的值就越接近1。
所以零知识证明是也一种基于概率的验证方式，验证者基于一定的随机性向证明者提出问题，如果证明者都能给出正确回答，则说明证明者大概率拥有他所声称的“知识”。零知识证明也并不是数学意义上的证明，因为它存在小概率的误差，欺骗的证明者有可能通过虚假的陈诉骗过验证者。换句话说，零知识证明是概率证明而不是确定性证明（但是也存在技术能将误差降低到可以忽略的值）。
上面的整个过程是在证明者和验证者在私有安全通道中执行的。这是由于协议存在交互过程，只对参与交互的验证者有效，其他不参与交互的验证者，无法判断整个过程是否存在串通的舞弊行为，一旦两个验证者相互串通，交换自己得到的值，便可以推出私钥。因此，是无法公开验证的。所以在交互式Schnorr协议中存在的私钥泄露问题，使得算法无法在公开的环境下使用。可以将原始的交互式协议通过Fiat-Shamir变换变成非交互式零知识证明来解决这个问题：
回顾一下交互式Schnorr 协议的第二步，Bob 需要给出一个随机的挑战数 c，这是为了防止Alice造假，这里我们可以让 Alice 用*c = Hash(PK, R)*这个式子来计算这个挑战数， 其中 R 是 Alice 发给 Bob 的椭圆曲线点，PK 是公钥。
这个式子达到了两个目的：
（1）Alice 在产生承诺 R 之前，没有办法预测 c，即使 c 最终是 Alice 生成的。
（2）c 是通过 Hash 函数计算的，会均匀分布在一个整数域内，可以作为一个随机数。
Hash 函数是单向的，这样一来，虽然 c 是 Alice 计算的，但是 Alice 并没有能力实现通过挑选 c 来作弊。因为只要 Alice 一产生 R， c 就相当于固定下来了。
这样，就把三步Schnorr协议合并为一步。Alice可直接发送*（R，z），因为Bob拥有Alice的公钥PK*，于是Bob可自行计算出c。然后验证zG?=R+cPK。
利用 Hash 函数，把三步 Schnorr 协议合并为了一步。Alice 可以直接发送：(R, c, z)这个三元组。又因为 Bob 拥有 PK，于是 Bob 可以自行计算出 c，于是 Alice 可以只发送 (R, z) 这个二元组即可。
总体步骤如下：
·Alice：均匀随机选择r，并依次计算 R=rG c=Hash(R,PK) z=r+csk
·Alice：生成证明*(R,z)*
·Bob(或者任意一个验证者)：计算e=Hash(PK,R)
·Bob(或者任意一个验证者)：验证zG?==R+cPK
可以看到这个过程，与交互式证明的过程相比减少了重复的挑战和回应过程，证明者只需要发送一次数据供验证者验证。去掉交互过程，证明者直接公开验证所需的数据。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-757985.html
ps：写的比较潦草，恳请各位小可爱批评指正！
文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-757985.html
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