1 背景简介
利用已有的非线性方程的数值解法能够近似计算部分特征值，但要求出特征方程的所有根难度极大。幂法是一种计算矩阵主特征值及对应特征向量的迭代方法，特别适用于大型稀疏矩阵。反幂法是计算海森伯格阵或三对角阵的对应一个给定近似特征值的特征向量的有效方法之一。
2 案例设计
3 数学模型
3.1 幂法
3.1.1 算法过程
3.1.2 代码
%% 输入参数
% 输入矩阵
A = [6 3 1;2 3 1;1 1 1];
% 输入初始值
u0 = [1;1;1];
%% 采用幂法进行计算
v = A * u0;
u = v / norm(v,inf);
i = 1;
while norm(u-u0,inf) > 1e-5
u0 = u;
v = A * u0;
u = v / norm(v,inf);
i=i+1;
end;
i % 迭代次数
u % 特征向量
norm(v,inf) % 主特征值
3.1.3 计算结果
3.2 反幂法
3.2.1 算法过程
3.2.2 代码
%% 输入参数
% 输入矩阵
A = [6 3 1;2 3 1;1 1 1];
% 特征值的近似值
p = 6;
% 输入初始值
u0 = [1;1;1];
%% 采用幂法进行计算
I = eye(3,3);
v = inv(A - p * I) * u0;
u = v / norm(v, inf);
i = 1;
while norm(u - u0, inf) > 1e-5
u0 = u;
v = inv(A - p * I) * u0;
u = v / norm(v, inf);
i = i+1;
end;
i % 迭代次数
u % 特征向量
x = p + 1 / norm(v, inf) % 主特征值
3.2.3 计算结果
文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-758197.html
4 分析与讨论
本实验运用了实方阵的特征值和特征向量的近似计算方法。 幂法给出了矩阵的按模最大特征值的近似值及其对应的特征向量；反幂法可以用来修正已知的近似特征值，以较快地得到更好的近似特征值和特征向量。幂法收敛的快慢取决于次特征值与主特征值的比值。比值越大，幂法收敛得越快；反之，则收敛得越慢。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-758197.html
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