蒙特霍尔问题（选择三扇门后的车与羊）及其贝叶斯定理数学解释-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了蒙特霍尔问题（选择三扇门后的车与羊）及其贝叶斯定理数学解释。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

1. 蒙特霍尔问题

有一个美国电视游戏节目叫做“Let’s Make a Deal”，游戏中参赛者将面对3扇关闭的门，其中一扇门背后有一辆汽车，另外两扇门后是山羊，参赛者如果能猜中哪一扇门后是汽车，就可以得到它。

通常，当参赛者选定了一扇门时，节目的主持人蒙特霍尔（Monty Hall）会打开剩余两扇门中的一扇（主持人知道门后是什么），让你看到门后的山羊，此时会询问参赛者是否换门，大部分参赛者认为这时关闭的两扇门中奖的概率是一样的，即都是1/2，通常他们不会改变他们第一次的选择。您是否觉得两个问题几乎一样呢？

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网上说法很多，我们以标准版：主持人事先知道答案，会打开一扇你没选择的门，且其背后一定是羊为条件，其他情况不在此过多的扩展。如下图所示剩下两个门供你选择。
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序号	参赛者初选	再选择换门	结果
1	有车门	有羊门	失败
2	有羊门A	有车门	获胜
3	有羊门B	有车门	获胜

参赛者最初选择时有1/3的相同概率选择汽车、羊A和羊B，再选择转换后的获胜概率为2/3。

2. 数学解释

蒙特霍尔问题的数学证明可以通过贝叶斯定理来完成。我们可以先了解一些定义。

2.1. 贝叶斯定理

2.1.1. 独立事件概率

我们设定事件 $A$ 的概率为 $P (A)$ ，事件 $B$ 的概率是 $P (B)$ ，且事件 $A$ 和事件 $B$ 是相互独立的。
则事件 $A$ 和事件 $B$ 同时发生的概率，满足如下公式：
$P (A B) = P (B A) = P (A) P (B)$

2.1.2. 条件概率

条件概率是在某种条件下，某个事件发生的概率，展示了事件之间的内在联系和影响。
我们来看两种条件概率的简单表述。

1.事件 $A$ 发生之后，事件 $B$ 发生的概率，可以记做 $P (B ∣ A)$ ，此时满足公式：
$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$ ，即 $A$ 和 $B$ 同时发生的概率除以 $A$ 发生的概率。
等价于 $P (A B) = P (B ∣ A) P (A)$

2.事件 $B$ 发生之后，事件 $A$ 发生的概率，可以记做 $P (A ∣ B)$ ，此时满足公式：
$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$
等价于 $P (A B) = P (A ∣ B) P (B)$

3.综合这两种条件事件，可以得到公式：
$P (A B) = P (A ∣ B) P (B) = P (B ∣ A) P (A)$

2.1.3. 贝叶斯公式

我们综合计算得到一个公式：
$P (A ∣ B) P (B) = P (B ∣ A) P (A)$

这个公式做一个变形可以得到贝叶斯公式：
$\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$

2.1.4. 先验概率和后验概率

在贝叶斯公式中，还隐含着一些术语：

$P (A)$ 是 $A$ 的先验概率或边缘概率，它不考虑任何 $B$ 方面的因素。
$P (A ∣ B)$ 是 $B$ 发生后 $A$ 的条件概率，由于得自 $B$ 的取值被称作 $A$ 的后验概率。

2.2. 贝叶斯定理解释蒙特霍尔问题

前面我们提到了，关键条件在于主持人选择B门后是无车的，这个事件对于已作出选择的参赛者来说是否有影响呢？后验概率是否产生了影响，我们来推导一下：

设定A、B、C门后有汽车分别记为事件 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，
则 $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{3}$ 。
设定参赛者选择了A门，由于主持人默认需要选择没有汽车的门，因此参赛者的选择影响了主持人的选择。
设定主持人选择了B门且没有汽车，记为事件 $D$ ，
则 $P(D|A)=\frac{1}{2}$ （因为如果选手最初选择了A门，主持人可以选择打开B或C，而汽车在B或C的概率相等）
$P (D ∣ B) = 0$ （因为主持人不会打开选择的门）
$P (D ∣ C) = 1$ （因为如果选手最初选择了C门，主持人只能选择打开B门）。
在主持人选择B门无汽车后，参赛者选择A门有车的概率为 $P (A ∣ D)$ ，即事件 $D$ 发生后事件 $A$ 的概率，由贝叶斯公式得：
$P(A|D)=\frac{P(D|A)P(A)}{P(D)}$
通过前面的分析，我们只需要求 $P (D ∣ A)$ 、 $P (A)$ 、 $P (D)$ 三个元素即可。
- $P (D ∣ A)$ 表示A门有汽车的情况下，主持人选择B门的概率，其为 $\frac{1}{2}$ ;
- $P (A)$ 表示A门有汽车的概率，其为 $\frac{1}{3}$ ;
- $P (D)$ 可以从全概率公式求得，其为 $\frac{1}{2}$ ：
  $P (D) = P (D ∣ A) P (A) + P (D ∣ B) P (B) + P (D ∣ C) P (C)$
  $P(D)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}+0\times\frac{1}{3}+1\times\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$
综上得到：
$P(A|D)=\frac{P(D|A)P(A)}{P(D)}=\frac{\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}}{2}=\frac{1}{3}$

在主持人选择B门开启后无汽车的情况下，参赛者选A门有汽车的概率 $P(A|D)=\frac{1}{3}$ ，因此后验概率并没有发生变化，并不是直观的 $\frac{1}{2}$ ，而仍然是 $\frac{1}{3}$ 。

因此，如果做调换门，那么相当于参赛者选择了C门，计算过程类似，概率为 $\frac{2}{3}$ ：
$P(C|D)=\frac{P(D|C)P(C)}{P(D)}$
$P(C|D)=\frac{1\times \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}$

3. 歧义的理解，扩展条件

3.1. 概述

蒙特霍尔问题之所以那么多年来争论不休，本质上是由于语义理解上的歧义；事实上，根据不同的理解方式，蒙特霍尔问题一共有 4 个本质不同的版本。如果不了解其他版本的话，那当你在现实中遇到其他蒙特霍尔问题的变体时，也会很容易想当然地给出错误的答案。

其实，这个问题一共有两个“歧义”点，缺一不可：

主持人是否能确保避免打开正确答案？
主持人是否一定会验证一个和你选择不同的门？

3.2. 歧义4个版本

根据这两个问题的答案，我们就得到了这个问题的 4 个版本：

版本1（标准版）：主持人事先知道答案，会打开一扇你没选择的门，且其背后一定是羊；（1-是；2-是）
版本2（验证版）：主持人事先并不知道答案，随机打开了一扇你没选择的门，其背后恰好是羊；（1-否；2-是）
版本3（机选版）：主持人让系统随机打开一扇背后是羊的门，它恰好打开了一扇你没选择的门；（1-是；2-否）
版本4（随机版）：主持人让系统随机打开一扇门，它恰好打开了一扇你没选择的门，且其背后是羊；（1-否；2-否）

注：1与2是指上面的歧义点。

那么，我们该怎么理解这 4 个版本的不同之处呢？它们的本质不同在于：主持人的行为是否需要承担泄露结果的「风险」，使得「条件概率」发生变动。易见，在最初的状态下，我们选中汽车的概率是 1/3。

版本1（标准版），无论我们是否选中汽车，主持人总能找到 1 个背后是羊的门，这件事情是 100% 能达成的，所以概率分布完全没变，我们选中汽车的概率依然为 1/3；
版本2（验证版），主持人显然冒了风险，如果你选中了羊，那他有 1/2 的概率会选中汽车，所以我们选中汽车的条件概率变成了（1/3） /（ 1/3+2/3×1/2）=1/2；
版本3（机选版），主持人其实也冒了风险，虽然不可能打开背后是汽车的门，但是在你选中羊的时候，有 1/2 的概率会随机你选择的门，所以我们选中汽车的条件概率变成了（1/3） /（1/3+2/3×1/2）=1/2；
版本4（随机版），主持人显然冒了双重风险，一个风险是，打开了你选择的门；另一个风险是，它打开了你没选择的门，但其背后是汽车；在这种情况下，条件概率的分子分母都会变化；我们选中汽车的条件概率变成了（1/3×2/3）/（1/3×2/3+2/3×1/3）=1/2

除了「标准版」的答案是 1/3（应该换门）外，其他版本的答案均为 1/2 （换不换均可）。

由此可见，同一件事物对于不同人甚至掌握不同信息的同一个人概率可能不同。因此，概率并不能寄托在实际的物体上，而是存在于条件之下。

参考：

曾加. 蒙提霍尔问题（又称三门问题、山羊汽车问题）的正解是什么？. 知乎. 2022.04文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-758581.html

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