矩阵的相似标准型2

方阵的标准型与最小多项式

4.1 方阵的特征矩阵

【定义】方阵的特征矩阵

设 $A=[a_{ij}]\in F^{n\times n}$，$\lambda$ 为文字¹，称：
λ E − A = [ λ − a 11 − a 12 ⋯ − a 1 n − a 21 λ − a 22 ⋯ − a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ − a n 1 − a n 2 ⋯ λ − a m m ] \lambda E-A= \begin{bmatrix} \lambda-a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & \lambda-a_{22} & \cdots & -a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & \lambda-a_{mm} \\ \end{bmatrix} λE−A= ​λ−a11​−a21​⋮−an1​​−a12​λ−a22​⋮−an2​​⋯⋯⋯​−a1n​−a2n​⋮λ−amm​​ ​
为 $A$ 的特征矩阵

$\det (\lambda E-A)={\lambda }^n+a_1{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_{n-1}\lambda +a_n$ ²
称为方阵 $A$ 的特征多项式

【定理】方阵与其特征矩阵的关系

设 $A\in F^{n\times n}$，$U(\lambda ),V(\lambda )\in F^{n\times n}$，则 $\exists Q(\lambda )$，$R(\lambda )\in F[\lambda {]}^{n\times n}$，$U_0,V_0\in F^{n\times n}$，使得
$$\begin{array}{rl}U(\lambda )& =(\lambda E-A)Q(\lambda )+U_0\\ V(\lambda )& =R(\lambda )(\lambda E-A)+V_0\end{array}$$

方阵可以由特征矩阵表示，这里的 $Q(\lambda )$、$R(\lambda )$ 相当于系数，只不过这个系数是个方阵。这种表示方法存在且唯一

【定理】可通过初等变换相互转化的矩阵等价的推广

设 $A(\lambda ),B(\lambda )\in F[\lambda {]}^{n\times n}$，则 $A(\lambda )\simeq B(\lambda )$，³当且仅当存在 m 阶可逆多项式矩阵 $U(\lambda )$ 和 n 阶可逆多项式矩阵 $V(\lambda )$，使得
$$B(\lambda )=U(\lambda )A(\lambda )V(\lambda )$$

这里的 $U(\lambda )$ 和 $V(\lambda )$ 分别对应初等行变换和初等列变换

【定义】矩阵相似

A、B 是两个方阵，若存在可逆矩阵 P ，使得
$$P^{-1}AP=B$$
则称 $A$ 相似于 $B$，记为 $A\sim B$

【定理】等价与相似间的充要关系

设 $A,B\in F^{n\times n}$，则 $A\sim B$ 的充分必要条件是 $\lambda E-A\simeq \lambda E-B$

4.2 方阵的三种因子

【定义】方阵的行列式因子、不变因子、初等因子

设 $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$，称 $\lambda E-A$ 的行列式因子、不变因子、初等因子分别为 $A$ 的行列式因子、不变因子、初等因子

【定理】方阵相似 <=> 三种因子相同

设 $A$、$B\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$，则
$$\begin{array}{rl}A\sim B& \iff A与B有相同的行列式因子\\ & \iff A与B有相同的不变因子\\ & \iff A与B有相同的初等因子\end{array}$$

即可以借助因子推相似，比如 $\lambda E-A$ 与 $\lambda E-A^T$ 有相同的行列式因子，所以 $A$ 与 $A^T$ 相似

4.3 方阵的有理标准型

任何一个方阵都可以找到有理标准型（Jordan标准型更重要）

【定义】有理标准型

设 $A\in F^{n\times n}$，其非常数不变因子有 k 个：
$${\phi }_1(\lambda ),{\phi }_2(\lambda ),\cdots ,{\phi }_k(\lambda ),{\phi }_i(\lambda )\mid {\phi }_{i+1}(\lambda ),i=1,2,\cdots ,k-1$$
设 ${\phi }_i(\lambda )={\lambda }^{n_i}+a_1{\lambda }^{n_i-1}+\cdots +a_{i{n}_{i-1}}\lambda +a_{i{n}_i}$，$i=1,2,\cdots ,k$。由于⁴
$$D_n(\lambda )=\det (\lambda E-A)={\phi }_1(\lambda ){\phi }_2(\lambda )\cdots {\phi }_k(\lambda )$$
故 $n_1+n_2+\cdots +n_k=n$

$\forall {\phi }_i(\lambda )$，令
F i = [ 0 − a i n i 1 0 − a i n i − 1 1 ⋱ ⋮ ⋱ 0 − a i 2 1 − a i 1 ] F_i= \begin{bmatrix} 0 &&&& -a_{in_i} \\ 1 & 0 &&& -a_{in_{i-1}} \\ & 1 & \ddots && \vdots \\ && \ddots & 0 & -a_{i2} \\ &&& 1 & -a_{i1} \\ \end{bmatrix} Fi​= ​01​01​⋱⋱​01​−aini​​−aini−1​​⋮−ai2​−ai1​​ ​
可知 $F_i$ 的不变因子为 $1,1,\cdots ,1,{\phi }_i(\lambda )$（一共 $n_i-1$ 个 $1$，令
F = [ F 1 F 2 ⋱ F k ] F= \begin{bmatrix} F_1 \\ & F_2 \\ && \ddots \\ &&& F_k \\ \end{bmatrix} F= ​F1​​F2​​⋱​Fk​​ ​
$\because {\phi }_i(\lambda )\mid {\phi }_{i+1}(\lambda ),i=1,2,\cdots ,k-1$，$\therefore$ $F$ 的不变因子为
$$\stackrel{n-k个}{1,1,\cdots ,1},{\phi }_1(\lambda ),{\phi }_2(\lambda ),\cdots ,{\phi }_k(\lambda )$$
这表明 $A$ 与 $F$ 具有相同的不变因子，从而 $A\sim F$

我们称 $F$ 为 $A$ 的有理标准型，$F_i$ 为有理块

比如求矩阵 $A$ 的有理标准型
A = [ − 1 − 2 6 − 1 0 3 − 1 − 1 4 ] A= \begin{bmatrix} -1 & -2 & 6 \\ -1 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & 4 \\ \end{bmatrix} A= ​−1−1−1​−20−1​634​ ​
利用初等变换，有
λ E − A = [ λ + 1 2 − 6 1 λ − 3 1 1 λ − 4 ] ≃ [ 1 0 0 0 λ − 1 0 0 0 ( λ − 1 ) 2 ] \lambda E-A= \begin{bmatrix} \lambda+1 & 2 & -6 \\ 1 & \lambda & -3 \\ 1 & 1 & \lambda-4 \\ \end{bmatrix} \simeq \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 0 & 0 & (\lambda-1)^2 \\ \end{bmatrix} λE−A= ​λ+111​2λ1​−6−3λ−4​ ​≃ ​100​0λ−10​00(λ−1)2​ ​
所以 $A$ 的不变因子为 $1,\lambda -1,(\lambda -1{)}^2$

对于 ${\phi }_1(\lambda )=\lambda -1$，其除最高项系数为 -1，得到 $F_1=[1]$
对于 ${\phi }_2(\lambda )={\lambda }^2-2\lambda +1$，其除最高项系数为 1，-2，得到
$$F_2=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 2\end{array}\right]$$

则 $A$ 的有理标准型为
F = [ 1 0 0 0 0 − 1 0 1 2 ] F= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix} F= ​100​001​0−12​ ​

4.4 方阵的Jordan标准型（约当标准型）

【定义】Jordan标准型（约当标准型）

设 $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$，其全部初等因子为
$$(\lambda -{\lambda }_1{)}^{n_1},(\lambda -{\lambda }_2{)}^{n_2},\cdots ,(\lambda -{\lambda }_s{)}^{n_s}$$
其中 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_s\in \mathbb{C}$，允许相同

由于⁴$D_n(\lambda )=\det (\lambda E-A)=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{n_1}(\lambda -{\lambda }_2{)}^{n_2}\cdots (\lambda -{\lambda }_s{)}^{n_s}$，故 $n_1+n_2+\cdots +n_s=n$

对每一个 $(\lambda -{\lambda }_i{)}^{n_i}$，令
J i = [ λ i 1 λ i ⋱ ⋱ 1 λ i ] n i × n i J_i= \begin{bmatrix} \lambda_i \\ 1 & \lambda_i \\ & \ddots & \ddots \\ && 1 & \lambda_i \end{bmatrix}_{n_i\times n_i} Ji​= ​λi​1​λi​⋱​⋱1​λi​​ ​ni​×ni​​
此时 $J_i$ 的初等因子为 $(\lambda -{\lambda }_i{)}^{n_i}$，令
J = [ J 1 J 2 ⋱ J s ] J= \begin{bmatrix} J_1 \\ & J_2 \\ && \ddots \\ &&& J_s \\ \end{bmatrix} J= ​J1​​J2​​⋱​Js​​ ​
此时 $J$ 的全部初等因子为 $(\lambda -{\lambda }_1{)}^{n_1},(\lambda -{\lambda }_2{)}^{n_2},\cdots ,(\lambda -{\lambda }_s{)}^{n_s}$，与 $A$ 具有相同的初等因子，所以 $A\sim J$

于是我们称 $J$ 为 $A$ 的 Jordan 标准型，$J_i$ 为 Jordan 块

比如求矩阵 $A$ 的 Jordan 标准型
A = [ − 1 − 2 6 − 1 0 3 − 1 − 1 4 ] A= \begin{bmatrix} -1 & -2 & 6 \\ -1 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & 4 \\ \end{bmatrix} A= ​−1−1−1​−20−1​634​ ​
利用初等变换，有
λ E − A = [ λ + 1 2 − 6 1 λ − 3 1 1 λ − 4 ] ≃ [ 1 0 0 0 λ − 1 0 0 0 ( λ − 1 ) 2 ] \lambda E-A= \begin{bmatrix} \lambda+1 & 2 & -6 \\ 1 & \lambda & -3 \\ 1 & 1 & \lambda-4 \\ \end{bmatrix} \simeq \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 0 & 0 & (\lambda-1)^2 \\ \end{bmatrix} λE−A= ​λ+111​2λ1​−6−3λ−4​ ​≃ ​100​0λ−10​00(λ−1)2​ ​
所以 $A$ 的不变因子为 $1,\lambda -1,(\lambda -1{)}^2$

对于 $\lambda -1$，作 $J_1=[1]$；
对于 ${\lambda }^2-2\lambda +1$，作
$$J_2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right]$$
故 $A$ 的 Jordan 标准型为
J = [ 1 0 0 0 1 0 0 1 1 ] J= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix} J= ​100​011​001​ ​

【定理】相似于对角矩阵的等价命题（从三种因子的角度）

设 $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$，则下列命题等价：

• $A$ 相似于对角矩阵
• $A$ 的初等因子都是一次的
• $A$ 的非常数不变因子无重根
• $d_n(\lambda )$ 无重根
• $A$ 的最小多项式无重根
• $A$ 存在一个无重根的零化多项式

所有方阵都有Jordan标准型（分块对角矩阵），但不是所有的方阵能相似于对角矩阵

5.1 最小多项式的定义及性质

【定义】零化多项式

设 $A\in F^{n\times n}$ 且 $A\ne 0$，若存在非零多项式
$$\phi (\lambda )=a_0{\lambda }^m+a_1{\lambda }^{m-1}+\cdots +a_{m-1}\lambda +a_m$$
使得
$$\phi (\lambda )=a_0{A}^m+a_1{A}^{m-1}+\cdots +a_{m-1}A+a_{m}E=O$$
则称 $\phi (\lambda )$ 为 $A$ 的一个零化多项式

零化多项式不是唯一的，只要有个零化多项式，它乘任意多项式最后结果仍为0（如 $\phi (\lambda )\cdot g(\lambda )$ ）；既然有无穷多个零化多项式，我们肯定求不完，那么能不能定义出一个唯一的零化多项式？于是给出最小多项式的定义。

【定义】最小多项式

方阵 $A$ 的次数最低 且 首1的零化多项式称为 $A$ 的最小多项式，用 $m(\lambda )$ 或 $m_A(\lambda )$ 表示

那么如何计算零化多项式/最小多项式？

【定理】Hamilton-Cayley定理

设 $A\in F^{n\times n}$，$f(\lambda )$ 是 $A$ 的特征多项式，即
$$f(\lambda )=\det (\lambda E-A)={\lambda }^n+a_1{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_{n-1}\lambda +a_n$$
则 $f(A)=O$

【注】方阵的特征多项式一定是它的零化多项式

【定理】最小多项式的性质

• $A$ 的最小多项式 可以整除 $A$ 的零化多项式
• $A$ 的最小多项式唯一
• 相似矩阵具有相同的最小多项式
• $A$ 的最小多项式的根必定是其特征多项式的根，反之亦然

5.2 最小多项式的求法

【定理】求最小多项式的方法——不变因子法

设 $A\in F^{n\times n}$，$d_n(\lambda )$ 为 $A$ 的最后一个不变因子，则 $A$ 的最小多项式 $m_A(\lambda )=d_n(\lambda )$

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