线性代数｜推导：线性变换与在基下的矩阵一一对应

前置定义 1　设 $T$ 是线性空间 $V_n$ 中的线性变换，在 $V_n$ 中取定一个基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$，如果这个基在变换 $T$ 下的像（用这个基线性表示）为
$$\{\begin{array}{rl}& T({\mathbf{\alpha }}_1)=a_{11}{\mathbf{\alpha }}_1+a_{21}{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +a_{n1}{\mathbf{\alpha }}_n)\\ & T({\mathbf{\alpha }}_2)=a_{12}{\mathbf{\alpha }}_1+a_{22}{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +a_{n2}{\mathbf{\alpha }}_n)\\ & \cdots \cdots \cdots \\ & T({\mathbf{\alpha }}_n)=a_{1n}{\mathbf{\alpha }}_1+a_{2n}{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +a_{nn}{\mathbf{\alpha }}_n)\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$
记 $T({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)=(T({\mathbf{\alpha }}_1),T({\mathbf{\alpha }}_2),\cdots ,T({\mathbf{\alpha }}_n))$，则上式 $(6)$ 可表示为
$$T({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)\mathbf{A}\text{\hspace{1em}(2)}$$
其中
A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} A= ​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮ann​​ ​
那么，$\mathbf{A}$ 就称为 线性变换 $T$ 在基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 下的矩阵。

定义详 “【推导】线性变换的矩阵表达式”。

根据前置定义 1，显然，矩阵 $\mathbf{A}$ 由基的像 $T({\mathbf{\alpha }}_1),\cdots ,T({\mathbf{\alpha }}_n)$ 唯一确定，即由线性变换 $T$ 可唯一地确定一个矩阵 $\mathbf{A}$。下面推导由一个矩阵 $\mathbf{A}$ 也可唯一地确定一个线性变换 $T$。

将 ${\mathbf{V}}_n$ 中的任意元素记为 $\mathbf{\alpha }={\sum }_{i=1}^n{x}_i{\mathbf{\alpha }}_i$，根据前置定义 1 的式 $(2)$，有
T ( ∑ i = 1 n x i α i ) = ∑ i = 1 n x i T ( α i ) = ( T ( α 1 ) , T ( α 2 ) , ⋯   , T ( α n ) ) ( x 1 x 2 ⋮ x n ) = ( α 1 , α 2 , ⋯   , α n ) A ( x 1 x 2 ⋮ x n ) \begin{aligned} T(\sum_{i=1}^n x_i \boldsymbol{\alpha}_i) & = \sum_{i=1}^n x_i T(\boldsymbol{\alpha}_i) \\ & = (T(\boldsymbol{\alpha}_1),T(\boldsymbol{\alpha}_2),\cdots,T(\boldsymbol{\alpha}_n)) \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} \\ & = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n) \boldsymbol{A} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} \end{aligned} T(i=1∑n​xi​αi​)​=i=1∑n​xi​T(αi​)=(T(α1​),T(α2​),⋯,T(αn​)) ​x1​x2​⋮xn​​ ​=(α1​,α2​,⋯,αn​)A ​x1​x2​⋮xn​​ ​​
即
T [ ( α 1 , α 2 , ⋯   , α n ) ( x 1 x 2 ⋮ x n ) ] = ( α 1 , α 2 , ⋯   , α n ) A ( x 1 x 2 ⋮ x n ) (3) T \left[ (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n) \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} \right] = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n) \boldsymbol{A} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} \tag{3} T ​(α1​,α2​,⋯,αn​) ​x1​x2​⋮xn​​ ​ ​=(α1​,α2​,⋯,αn​)A ​x1​x2​⋮xn​​ ​(3)
上式 $(3)$ 唯一地确定一个变换 $T$，可以验证确定的变换 $T$ 是以 $\mathbf{A}$ 为矩阵的线性变换。总之，以 $\mathbf{A}$ 为矩阵的线性变换 $T$ 由关系式 $(3)$ 唯一确定。

综上所述，线性变换与矩阵之间有一一对应的关系。

由关系式 $(3)$，可见 $\mathbf{\alpha }$ 与 $T(\mathbf{\alpha })$ 在基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 下的坐标分别为
α = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) , T ( α ) = A ( x 1 x 2 ⋮ x n ) \boldsymbol{\alpha} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, \hspace{1em} T(\boldsymbol{\alpha}) = \boldsymbol{A} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} α= ​x1​x2​⋮xn​​ ​,T(α)=A ​x1​x2​⋮xn​​ ​
即按坐标表示，有
$$T(\mathbf{\alpha })=\mathbf{A}\mathbf{\alpha }$$文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-758981.html

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