解析几何北大第五版复习提纲-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了解析几何北大第五版复习提纲。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

第一章

两向量向量积

向量积定义：a x b =|a||b|sin
几何意义：平行四边形面积
性质：
- 两向量共线的充分必要条件是 a x b = 0
- 数乘：
- 分配律：
求法：行列式

三向量混合积

混合积定义：对于一个六面体,边长为a,b,c，则其体积为
性质：
- 三向量共面的充分必要条件是混合积为0
- 交换律
求法：行列式
拓展：cram法则

三向量的双重向量积

求法：
拓展：
- 拉格朗日恒等式
- jacobi恒等式

第二章

平面曲线的方程

曲线方程：点满足某方程，点的集合构成曲线
向量式参数方程：向径由某个参数决定
常见参数方程：
- 外摆线：
- 内摆线：
- 渐展线：

曲面的方程

曲面的方程：满足方程的点（x,y,z）在曲面上，曲面上的任意一点（x,y,z）满足方程
向量式参数方程：空间中向径由2个参数决定的
坐标系：
- 直角坐标系：
- 球坐标系：
- 柱坐标系：

空间曲线的方程

空间曲线的方程：两个面方程的交集
弹簧线方程：

第三章

平面的方程

向量式：
点位式：
三点式：

一般式：
截距式：
点法式：
坐标法式：

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平面与点的相关位置

离差：
- 定义：
- 定理：
空间划分：

两平面的相关位置

二面角：
相交：
- 垂直：
重合：

空间直线的方程

直线与平面的相关位置

空间直线与点的相关位置

空间两直线相关位置

平面束

第四章

柱面

柱面：在空间直角坐标系内，空间中定曲线与平行于一条轴的直线相交的生成的曲面叫柱面
- 母线：平行于轴且在柱面内的直线
- 准线：定曲线
方程：
定理：柱面方程中缺省哪个值，方程就平行于哪个轴
投影柱面、投影曲线：对应面和对应缺省轴的柱面方程的交

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锥面

锥面：空间中过一定点的直线束与定曲线相交形成的曲面叫作锥面
- 母线：锥面中过定点的直线
- 准线：定曲线
一个关于x,y,z的齐次方程是过原点的锥面
- 证明：
- 推论：关于x-x0,y-y0,z-z0的齐次方程是过x0,y0,z0的锥面

旋转曲面

旋转曲面：在直角坐标系中，一曲线绕一直线转动形成的曲面。
- 母线：绕转的曲线
- 准线：垂直母线的纬圆
方程：
绕轴旋转的曲线方程：曲线绕哪轴，哪轴不变，另一变量利用其余变量的和的平方根代替

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4.7单叶双曲面与双曲抛物面的直母线

直纹曲面：由一族直线旋转而成的曲面，有椭圆、锥面、单叶双曲面和双曲抛物面
直母线定义：可以通过一族直线旋转得到曲面，该族直线就是直母线
方程：
- 单叶双曲面：
  - 直母线方程：
- - 推论：
- 双曲抛物面：
  - 直母线方程：
  - 问题：此处为何没有用两个参数表示？
定理：
- 单叶双曲面的直母线相交且共面
- 单叶双曲面的同族直母线异面，双叶抛物面的同族全体直母线平行于同一平面

二次曲线的一般理论

一般理论

实点：(x,y)坐标都是实数
虚点：(x,y)其中一个坐标是虚数
共轭虚点：坐标分别对应共轭，共轭虚点的中点是实点
复点：实点和虚点都是复点
二次曲线方程：
直线方程：
方程合并：
相关标记：

二次曲线与直线相关位置

二次曲线与直线合并方程：
位置关系：

二次曲线的渐近方向、中心、渐近线

渐近方向：当(x,y)=0时，X：Y为渐近方向
- 渐近方向求解：
- 求解分析：
中心：二次曲线的对称中心
- 中心求解方法：
- 三种二次曲线：
渐近线：过二次曲线中心且方向为渐近方向的直线
- 渐近线定理：二次曲线的渐近线要么与二次曲线无交点，要么整条渐近线都在二次曲线上
- 证明：
- 所以根据二次曲线和直线位置关系知，如果F(x0,y0)=0则渐近线在二次曲线上，否则与二次曲线无交点。

二次曲线的切线

切线定义：直线与二次曲线相交于一个重合的点，这个点就是切点，直线就是切线；如果直线全部在二次曲线上则直线上任意一点都是切点。
切线求法：
奇异点、正则点：
切线公式：

二次曲线的直径

直径：二次曲线共轭弦的中点连成一条直线叫直径。
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- 条件：弦方向不能是渐近方向，否则不可能有两个交点
- 相关推导：
- 分类：
共轭直径、共轭弦：一组平行弦的中点的轨迹叫作直径，这组平行弦叫共轭弦。与共轭弦方向相同的直径与共轭弦的直径组成一对共轭直径。
- 性质：
  - 中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向是非渐近方向，非中心二次曲线的渐近方向的共轭方向是共轭方向。
  - 共轭方向间满足关系：
    - 推导：展开即可。