三门问题与贝叶斯公式-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了三门问题与贝叶斯公式。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

三门问题

一个抽奖节目，舞台上有三扇门，其中一扇门的后面有汽车，其余两扇没有，选中有汽车的那扇门就可以赢得该汽车。首先参与者从三扇门中选择一扇，接着主持人会故意打开一扇没有车的门，并询问参与者是否要更改自己的选项。请问更改选项和不更改选项哪个的中奖概率更高？

这是一个很容易犯错的问题，许多人会忽略题目中隐藏的一个重要信息——主持人事先知道哪扇门后面有车、哪扇门后面没车。

定义 \(A, B\) 两个事件：

\(A\)：参与者选择的是有车的门。
\(B\)：主持人打开的是没有车的门。（主持人事先知道门后面有无车，故意打开无车的门）

不更改选项的中奖概率为 \(P(A|B)\)，使用贝叶斯公式可知

\[P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}. \]

由于主持人事先知道门后面有无车，并且总是会故意选择一扇没有车的门打开，因此有

\[\begin{aligned} & P(B|A) = 1, P(B|\overline{A}) = 1, \\ & P(AB) = P(A)P(B|A) = P(A) = \frac{1}{3}, \\ & P(B) = P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A}) = 1, \end{aligned} \]

不更改选项的中奖概率为 \(P(A|B) = \frac{\frac{1}{3}}{1} = \frac{1}{3}\)，更改选项的中奖概率为 \(1 - P(A|B) = \frac{2}{3}\)，可见更改选项的中奖概率更高。

变种的三门问题

接下来看一个变种的三门问题：如果主持人事先不知道门后的情况，是随机开门的，请问更改选项和不更改选项哪个的中奖概率更高？

这里我们将 \(B\) 事件的定义修改为：主持人打开的是没有车的门。（主持人不知道门后的情况，随机开门）

此时有

\[\begin{aligned} & P(A) = \frac{1}{3}, \\ & P(AB) = P(A)P(B|A) = \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{2} = \frac{1}{3}, \\ & P(B) = P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A}) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{2}{3}, \end{aligned} \]

不更改选项的中奖概率为 \(P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}\)，更改选项的中奖概率为 \(1 - P(A|B) = \frac{1}{2}\)，二者的中奖概率相同。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-760798.html

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