图论 | 网络流的基本概念

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了图论 | 网络流的基本概念。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

流网路

流网络: G = ( V , E ) G = (V, E) G=(V,E)

图论 | 网络流的基本概念,手撕算法,图论,网络,网络流

  • 有向图,不考虑反向边
  • s:源点
  • t:汇点
  • c ( u , v ) c(u, v) c(u,v):边的最大容量
  • 可行流 f f f
    • 容量限制: 0 ≤ f ( u , v ) ≤ c ( u , v ) 0 \leq f(u, v) \leq c(u, v) 0f(u,v)c(u,v)
    • 流量守恒:除了源点和汇点,所有点满足 流入 = 流出 流入 = 流出 流入=流出
  • ∣ f ∣ |f| f:可行流的流量,即从源点流向汇点的速率。一种通用的解释是 从源点流出的流量 − 流入源点的流量 从源点流出的流量 - 流入源点的流量 从源点流出的流量流入源点的流量
  • 最大流:最大可行流

残留网络

残留网络定义:一个可行流流网络 f f f 对应一个残留网络 G f G_f Gf

  • 点集:与原图的点集一样 V f = V V_f = V Vf=V
  • 边集:不仅包含原图的边,同时包含所有边的方向边,即 E f = E 和 E 中的所有反向边 E_f = E 和 E中的所有反向边 Ef=EE中的所有反向边
  • 边的容量: c f ( u , v ) c_f(u, v) cf(u,v)
    • 原图中的边:剩下的容量,即 c ( u , v ) − f ( u , v ) c(u, v) - f(u, v) c(u,v)f(u,v)
    • 反向边:可以退回的流量,即 f ( v , u ) f(v, u) f(v,u)

重要结论:原网络的可行流 f f f 加上可行流对应的残留网络 G f G_f Gf,也是一个可行流

  • 对应边相加:若方向同则相加;若反向反则相减
  • 结论: ∣ f + f ′ ∣ = ∣ f ∣ + ∣ f ′ ∣ |f + f'| = |f| + |f'| f+f=f+f
  • 进一步,若残留网络没有可行流,那么原网络的可行流就一定是最大流

增广路径

在残留网络里,如果沿着容量大于 0 的边走,能走到汇点,则这条路径叫做增广路径

  • 若存在一个增广路径,根据 ∣ f + f ′ ∣ = ∣ f ∣ + ∣ f ′ ∣ |f + f'| = |f| + |f'| f+f=f+f,原来的可行流一定不是最大流
  • 若不存在增广路径,我们可以得出当前可行流就是最大流

将点集 V 分成 S 和 T 两个子集

  • 分割要满足 S ∪ T = V , S ∩ T = ∅ S ∪ T = V, S ∩ T = \emptyset ST=VST=
  • 点集不一定连通

割的容量: c ( S , T ) = ∑ u ∈ S ∑ v ∈ T c ( u , v ) c(S, T) = \sum_{u ∈ S} \sum_{v ∈ T} c(u, v) c(S,T)=uSvTc(u,v)

  • 最小割:最小割的容量
  • 割的容量不考虑反向边

割的流量: f ( S , T ) = ∑ u ∈ S ∑ v ∈ T f ( u , v ) − ∑ u ∈ T ∑ v ∈ S f ( u , v ) f(S, T) = \sum_{u ∈ S} \sum_{v ∈ T} f(u, v) - \sum_{u ∈ T} \sum_{v ∈ S} f(u, v) f(S,T)=uSvTf(u,v)uTvSf(u,v)

  • 流过去的流量减去流过来的流量
  • 割的流量考虑反向边

重要性质:

  • 对于任意一个割,割的流量一定小于等于割的容量,即 f ( S , T ) ≤ c ( S , T ) f(S, T) \leq c(S, T) f(S,T)c(S,T)

  • 割的流量等于原流网络的流量,即 f ( S , T ) = ∣ f ∣ f(S,T) = |f| f(S,T)=f

  • f ( X , Y ) = − f ( Y , X ) f(X, Y) = -f(Y, X) f(X,Y)=f(Y,X)

  • f ( Z , X ∪ Y ) = f ( Z , X ) + f ( Z , Y ) f(Z, X ∪ Y) = f(Z, X) + f(Z, Y) f(Z,XY)=f(Z,X)+f(Z,Y)

  • f ( X ∪ Y , Z ) = f ( X , Z ) + f ( Y , Z ) f(X ∪ Y, Z) = f(X, Z) + f(Y, Z) f(XY,Z)=f(X,Z)+f(Y,Z)

最大流最小割定理

以下三个条件是等价的

  1. 可行流 f f f 是最大流
  2. 可行流 f f f 的残留网络中不存在增广路
  3. 存在某个割 [ S , T ] [S, T] [S,T] ∣ f ∣ = c ( S , T ) |f| = c(S, T) f=c(S,T)

最大流

Edmonds-Karp 算法

算法步骤

维护流网络的残留网络,不断进行以下流程:

  1. 找一条增广路 f ′ f' f:可以用 BFS 进行搜索
  2. 更新残留网络 G f → G f + f ′ G_f → G_{f + f'} GfGf+f
程序代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 1010, M = 20020, INF = 1e8;

// 邻接表存储残留网络
// 正向边和反向边成对存在,正向边的下标异或上1得到方向边的下标
int n, m, S, T;
int h[N], e[M], f[M], ne[M], idx;  // f表示容量
int q[N], d[N], pre[N];
bool st[N];  // 避免重复搜索

void add(int a, int b, int c)
{
    // 正向边 
    e[idx] = b, f[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
    // 反向边,初始容量为0
    e[idx] = a, f[idx] = 0, ne[idx] = h[b], h[b] = idx++;
}

// bfs找增广路
bool bfs()
{
    int hh = 0, tt = 0;
    memset(st, false, sizeof(st));
    q[0] = S, st[S] = true, d[S] = INF;
    while(hh <= tt) {
        // 从队列中弹出一个元素进行BFS
        int t = q[hh++];
        for(int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) {
            // 节点t的临接边i的下一节点ver
            int ver = e[i];
            // 没遍历过且边i的容量不为0
            if( !st[ver] && f[i] ) {
                st[ver] = true;
                // 流到节点ver的流量为流到t的流量和边i容量的最小值
                d[ver] = min(d[t], f[i]);
                // 记录节点ver前驱边的编号
                pre[ver] = i;
                if(ver == T)  return true;
                // ver入队
                q[++tt] = ver;
            }
        }
    }
    return false;
}

// EK 算法
int EK()
{
    int r = 0;
    while( bfs() ) {
        // 加上增广路的流量
        r += d[T];
        // 更新残留网络
        for(int i = T; i != S; i = e[pre[i] ^ 1]) {
            // 正向边更新
            f[pre[i]] -= d[T];
            // 反向边更新
            f[pre[i] ^ 1] += d[T];
        }
    }
    return r;
}

int main()
{
    // 点数、边数、源点、汇点
    cin >> n >> m >> S >> T;
    // 初始化邻接表
    memset(h, -1, sizeof(h));
    while( m-- ) {
        int a, b, c;
        // 边ab的容量为c
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c);
    }
    
    cout << EK() << endl;
    return 0;
}
时间复杂度

O ( V E 2 ) O(VE^2) O(VE2)文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-761166.html

到了这里,关于图论 | 网络流的基本概念的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处: 如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请点击违法举报进行投诉反馈,一经查实,立即删除!

领支付宝红包 赞助服务器费用

相关文章

  • 离散数学-图论-图的基本概念(11)

    1.1 图的定义 定义1: 一个 无向图 G是一个有序的二元组V,E,其中 (1)V是一个非空有穷集,称为顶点集,其元素称为顶点或结点。 (2)E是无序积VV的有穷多重子集,称为边集,其元素称为无向边,简称边。 定义2: 一个 有向图 D是一个有序的二元组V,E,其中 (1)V是一个非

    2024年02月13日
    浏览(47)
  • 图论:十字链表的基本概念理解

    写博客是为了学习理解更深刻         在学习甲鱼课的十字链表时稍稍有点懵,进C站查找一番后发现也没有比较亲近小白的描述和解释。抱着让自己理解更深刻以及与大家分享的态度写下了这篇博客。如有错误请指出。         邻接表的使用简单方便,但在对有向图的处

    2023年04月08日
    浏览(36)
  • 图论-图的基本概念与数据结构

    无向图 边是没有方向的,也就是双向的 结点 V = { v 1 , v 2 , . . . , v 7 } mathcal{V} = { v_1,v_2,...,v_7} V = { v 1 ​ , v 2 ​ , ... , v 7 ​ } 边 ε = { e 1 , 2 , e 1 , 3 , . . . , e 6 , 7 } varepsilon = {e_{1,2},e_{1,3},...,e_{6,7}} ε = { e 1 , 2 ​ , e 1 , 3 ​ , ... , e 6 , 7 ​ } 图 G = { V , ε } mathcal{G} = { math

    2024年02月08日
    浏览(46)
  • 图论与算法(1)图论概念

    在计算机科学中,图论与算法是两个重要且紧密相关的领域。图论研究图的性质和特征,而算法设计和分析解决问题的方法和步骤。图论提供了一种形式化的方法来描述和分析各种关系和连接,而算法则为解决图相关的问题提供了有效的解决方案。 图论是研究图的结构和性质

    2024年02月07日
    浏览(41)
  • 【图论】图的概念和基本术语(顶点、边、度、路径等)

    在数学和计算机科学中,图是由 顶点(节点) 和 边(连接) 组成的一种 数据结构 ,用于描述对象之间的关系。图是一种广泛应用于许多领域的数学概念,包括计算机科学、网络分析、运筹学、社交网络分析等。 图可以用于表示各种现实世界中的问题,如社交网络中的用户

    2024年02月07日
    浏览(52)
  • 社交网络分析3:社交网络隐私攻击、保护的基本概念和方法 + 去匿名化技术 + 推理攻击技术 + k-匿名 + 基于聚类的隐私保护算法

    《社交网络分析》课程由鲁宏伟老师授课,其教学方式不仅严谨负责,还充满幽默与个人见解。这个方向对我而言也尤其有吸引力,怀着极大的兴趣选修了这门课程。 三、社交网络隐私保护 主要结合PPT第三章:社交网络隐私保护 本章简要介绍社交网络隐私攻击和保护的基本

    2024年02月03日
    浏览(47)
  • 图论与算法(2)图的基本表示

    (1) 有向图和无向图: 有向图(Directed Graph):图中的边具有方向,表示节点之间的单向关系。 无向图(Undirected Graph):图中的边没有方向,表示节点之间的双向关系。 (2)加权图和无权图: 加权图(Weighted Graph):图中的边具有权重或距离,表示节点之间的关系有一定

    2024年02月04日
    浏览(45)
  • 网络社区挖掘-图论部分的基本知识笔记

    网络社区挖掘是指利用数据挖掘技术和机器学习算法,分析社交网络、在线社区或互联网上的各种交互数据,以揭示其中隐藏的模式、关系和信息。这些社区可以是社交媒体平台、在线论坛、博客、微博等,人们在这些平台上进行交流、分享信息和建立连接。 通常包含: 社区

    2024年02月05日
    浏览(48)
  • 图论第一次作业(教材:图论与网络最优化算法龚劬编著)

    5.证明K维超立方体 的顶点是 ,边数是 ,且是二部图,其中, 的顶点集 ,且两顶点相邻当且仅当着两个k维序列正好有一对应项不相同。 8.任何两个以上的人组成的人群中,至少有两个人,他们的朋友数一样多。 11.设 是平面上的点集,其中任意两点间的距离至少是1,证明:

    2024年02月08日
    浏览(42)
  • Java网络编程(一)基本网络概念

            网络(network) 是几乎可以实时相互发送和接收数据的计算机和其他设备的集合。网络通常用线缆连接,数据位转换为电磁波,通过线缆移动。不过,无线网络会通过无线电波传输数据,许多长距离的传输现在会用通过玻璃纤维发送可见光的光纤电缆来完成。传输数

    2024年02月16日
    浏览(42)

觉得文章有用就打赏一下文章作者

支付宝扫一扫打赏

博客赞助

微信扫一扫打赏

请作者喝杯咖啡吧~博客赞助

支付宝扫一扫领取红包,优惠每天领

二维码1

领取红包

二维码2

领红包