线性代数：约当标准型学习笔记

线性代数：约当标准型学习笔记

一、背景

线性代数是数学中重要的分支之一，在各个领域中都有广泛的应用。其中，矩阵的基本理论与方法是线性代数的重点和难点。本文主要介绍线性代数中的一种特殊矩阵形式：约当标准型。通过对约当标准型的定义、求法、性质及应用的介绍，希望读者能够深入理解和应用矩阵的相关知识。

二、定义

设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶方阵，若存在 $n$ 维非零列向量 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_r$，满足：

1. $\mathbf{A}{\mathbf{\xi }}_i={\lambda }_i{\mathbf{\xi }}_i,(i=1,2,\cdots ,r)$，其中 ${\lambda }_i$ 为 $\mathbf{A}$ 的 $r$ 个不同的特征值。
2. 对于所有非特征向量 $\mathbf{\eta }$，${(\mathbf{A}-{\mathbf{\lambda }}_{\mathbf{i}}\mathbf{E})}^{q_i}\mathbf{\eta }=0$，其中 $q_i$ 为 ${\mathbf{\xi }}_i$ 对应的 Jordan 块的大小。

则称 $\mathbf{A}$ 可以相似对角化为约当标准型，即：

J = ( J 1 0 ⋯ 0 0 J 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ J r ) \boldsymbol{J}=\left( \begin{matrix} \boldsymbol{J}_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \boldsymbol{J}_{2} & \cdots & 0\\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots &\boldsymbol{J}_{r} \end{matrix} \right) J= ​J1​0⋮0​0J2​⋮0​⋯⋯⋱⋯​00⋮Jr​​ ​

其中，每个 ${\mathbf{J}}_i$ 是形如下面的 Jordan 块：

J i = ( λ i 1 0 ⋯ 0 0 λ i 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ λ i 1 0 0 ⋯ 0 λ i ) q i × q i \boldsymbol{J_{i}}=\left( \begin{matrix} \lambda_{i} & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{i} & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{i} & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_{i} \end{matrix} \right)_{q_i\times q_i} Ji​= ​λi​0⋮00​1λi​⋮00​01⋱⋯⋯​⋯⋯⋱λi​0​00⋮1λi​​ ​qi​×qi​​

三、求法

对于一个矩阵 $\mathbf{A}$，要求其约当标准型，一般通过以下步骤：

1. 求出 $\mathbf{A}$ 的特征值和对应的特征向量。
2. 对于每个特征值，按照以下步骤：
   • 求出由该特征值对应的特征向量和线性无关的向量组成的矩阵 $\mathbf{\xi }$。
   • 求出由 $\mathbf{\xi }$ 构成的 Jordan 标准形矩阵 ${\mathbf{J}}_{\mathbf{i}}$，并将其放入到约当矩阵中。
3. 得到的约当矩阵即是原矩阵的约当标准型。

四、性质

1. 约当标准型是对角线上为特征值，且对角线以上为 $1$ 的上三角形矩阵。
2. 矩阵 $\mathbf{A}$ 可以相似对角化为约当标准型的充要条件是：对于任意的 $i,j=1,2,\cdots ,n$，$(\mathbf{A}-{\lambda }_i\mathbf{E}{)}^{p_{ij}}{\mathbf{\xi }}_j=0$，其中 $p_{ij}$ 表示 ${\mathbf{\xi }}_{\mathbf{i}}$ 在 ${\mathbf{\xi }}_{\mathbf{j}}$ 所在的 Jordan 块中的指数。
3. 若 $\mathbf{A}$ 可对角化，则其约当标准型即是其对角化矩阵。
4. 约当标准型的特征值与原矩阵相同，但具有更多信息，例如特征向量的个数，以及特征向量的属于哪个 Jordan 块等。

五、应用

约当标准型在求解高阶线性微分方程、推导微积分和矩阵函数等方面都有广泛的应用。在数值计算中，通过计算约当标准型可以避免误差和不稳定性等问题，提高计算效率和精度。

六、总结

本文简要介绍了约当标准型的定义、求法、性质和应用。能够对其进行深入理解，将有助于读者更好地应用线性代数和矩阵相关的知识，解决实际问题。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-761680.html

到了这里，关于线性代数：约当标准型学习笔记的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！