在我们的编程之旅中，C语言为我们打下了坚实的基础。然而，如今我们踏入了新的领域——数据结构与算法
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**那么现在就以算法的时间复杂度和空间复杂度开始，逐步探索这个数据结构的精彩之处 **
一.算法效率
1.1 如何衡量一个算法的好坏
通常我们都会认为越简短算法越好 ,但是我们在用递归实现求斐波那契数列的时候，代码确实简短，但是效率却不高
int fib(int n) { if (n <= 2) { return 1; } else { return fib(n - 1) + fib(n - 2); } }让求个第50个耗费的时间就已经不短了，所以我们需要一个统一的标准来衡量代码的好坏——算法的复杂度
1.2 算法的复杂度
算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般
是从时间和空间两个维度来衡量的，即我们所说的时间复杂度和空间复杂度
- 时间复杂度：时间复杂度描述了算法解决问题所需的时间量级。它表示随着输入规模的增加，算法执行所需时间的增长趋势，时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢
- 空间复杂度：空间复杂度衡量了算法在执行过程中所需的额外内存空间。表示随着输入规模增加，算法所需内存的增长趋势。空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间
而如今计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度，更加着重于时间复杂度
二.时间复杂度
2.1基本概念
算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。显然这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。
一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度
确定一个算法中某个基本操作与问题规模 N 之间的关系式，即可确定该算法的时间复杂度
eg:计算一下test1中++count语句总共执行了多少次？
#include<stdio.h> int test1(int N) { int count = 0; for (int i = 0; i < N; ++i) { for (int j = 0; j < N-1; ++j) { ++count; } } for (int k = 0; k < N; ++k) { ++count; } int M = 20; while (M--) { ++count; } } int main() { test1(); return 0; }可以知道执行的次数F（N）只与N有关：
F ( N ) = N ∗ ( N − 1 ) + N + 20 F(N)=N*(N-1)+N+20 F(N)=N∗(N−1)+N+20
- N = 10 F(N) = 120
- N = 100 F(N) = 10020
实际中计算时间复杂度时，其实并不一定要计算很精确的执行次数，只需要知道大概执行次数，即使用大O的渐进表示法
2.2 大O的渐进表示法
大 O 渐进表示法（Big O notation）: 是一种用于描述算法复杂度的数学表示方法。它用于衡量算法在最坏情况下执行时间的上限，即算法的增长率
规则：
- 用常数1取代运行时间中的所有加法常数
- 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
- 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶
上面的 F ( N ) = N ∗ ( N − 1 ) + N + 20 F(N)=N*(N-1)+N+20 F(N)=N∗(N−1)+N+20 用大O表示法为：
O ( N 2 ) O(N^2) O(N2)
通过上面这个例子会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁的表示出了执行次数
有些算法的时间复杂度也分最好，平均，最坏的情况：
- 最坏情况：任意输入规模的最大运行次数
- 平均情况：任意输入规模的期望运行次数
- 最好情况：任意输入规模的最小运行次数
eg：在一个长度为n的整形数组arr里找a这个值
最好情况第一次就找到了 平均情况n/2次找到 最坏情况n次找的
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)
2.3常见时间复杂度计算
void test2(int N,int M)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; ++k)
{
count++;
}
for (int k = 0; k < N; ++k)
{
count++;
}
}
基本操作执行了M+N次,时间复杂度为O(N)
void test3()
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; ++k)
{
++count;
}
}
基本操作执行了100次（常数）,时间复杂度为O(1)
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i - 1] > a[i])
{
Swap(&a[i - 1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}
基本操作执行最好N次，最坏执行了(N*(N+1)/2次，通过推导大O阶方法+时间复杂度看最
坏，时间复杂度为 O ( N 2 ) O(N^2) O(N2)
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
assert(a);
int begin = 0;
int end = n - 1;
while (begin <= end)
{
int mid = begin + ((end - begin) >> 1);//相当于begin+（n/2）
if (a[mid] < x)
begin = mid + 1;
else if (a[mid] > x)
end = mid - 1;
else
return mid;//找到了返回下标
}
return -1;//没找到返回-1
}
基本操作执行最好1次，最坏O( log 2 N \log_2N log2N)次，时间复杂度为 O( log 2 N \log_2N log2N) (一般情况下写成 l g N lgN lgN)
三.空间复杂度
3.1基本概念
空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。
空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间,算的是变量的个数。
空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法
3.2常见时间复杂度计算
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i - 1] > a[i])
{
Swap(&a[i - 1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}
使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)
long long Fac(size_t N)
{
if(N == 0)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}
空间复杂度是 O(N)，其中 N 是输入的参数。这是因为每次递归调用都会在内存中创建一个新的函数调用帧文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-761726.html
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