高等工程数学 —— 第四章 （2）线性方程组的迭代解法和极小化方法
线性方程组的迭代解法
迭代的一般解法
- 因此判断迭代是否收敛可以判断谱半径（最大特征值）是否小于1
- 可见谱半径越小，收敛速度越快，迭代次数越少。
例题：
- 当 B B B的两个特征值相同时可使得取最小值。因为有绝对值，所以等式两边同时平方就好了。
Jacobi迭代法
看道例题就好了！
例：
- 其实就是通过简单的移项来构造出每一个第 k k k次的 x x x能被 k − 1 k-1 k−1次的 x x x所表示。然后不断的迭代代值直到 x x x的值不再改变。
Gauss-Seidel迭代法
还是看道例题就好了！
例：
- 第 k k k次的 x x x值肯定比第 k − 1 k-1 k−1次的 x x x值要接近正确答案。因此我们可以用已经算出的第 k k k次的 x x x值来代替第 k − 1 k-1 k−1次的 x x x值。例如，在算 x 2 ( k ) x_2^{(k)} x2(k)时我们已经算出来的 x 1 ( k ) x_1^{(k)} x1(k)可以代替该式子中的 x 1 ( k − 1 ) x_1^{(k-1)} x1(k−1).这样可以使得迭代次数更少一点。
J迭代法与G-S迭代法的收敛性
看例题就好了！
例1：
- 对于J法而言，其实就是对角线元素乘以 λ \lambda λ后的行列式为0.解出来的 λ \lambda λ值如果小于0那么说明J法收敛。
- 对于G-S法而言，就是下三角部分乘以 λ \lambda λ后的行列式值为0.解出来的 λ \lambda λ值小于0即收敛，大于0则发散。
- 上述例题可见，J法是否收敛与G-S法是否收敛并没有关系。
例2：
超松弛迭代法（SOR）
看不懂，别看了。看例题吧！
例：
- 其实就是在G-S迭代法的基础上又加了一项来减少迭代次数。
SOR法的收敛性
- 严格对角占优矩阵：每一行的对角线元素都大于其余元素之和
- 弱对角占优矩阵：至少有一行满足严格对角占优，其余行对角线元素的值可以等于其他元素和。
不可约矩阵定义如下：
极小化方法
不想解释太多了，咱直接看例题吧。
最速下降法
引用另一个博主一张图，咱写不出来这么娟秀的字体~
- 我的理解就是通过对 f ( x k + α f(x^k+\alpha f(xk+α d k ) d^k) dk)求导解出取极值时的最优步长 α \alpha α的值
例：
共轭梯度法
哎，学例题吧。推导证明咱也看不懂。
例：
FR共轭梯度法例题文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-761812.html
例1：
例2：
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