线性代数(五) | 矩阵对角化 特征值 特征向量

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了线性代数(五) | 矩阵对角化 特征值 特征向量。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

1 矩阵的特征值和特征向量究竟是什么?

矩阵实际上是一种变换,是一种旋转伸缩变换(方阵) 不是方阵的话还有可能是一种升维和降维的变换
直观理解可以看系列超赞视频线性代数-哔哩哔哩_Bilibili

比如A= ( 1 2 2 1 ) \begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix} (1221) x= ( 1 2 ) \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} (12)

我们给x左乘A实际上是对x进行了一次旋转伸缩变换 Ax= ( 5 4 ) \begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix} (54)

而我们如果仅仅是单纯的伸缩变换,而如果A对x仅仅只能伸缩变换,而不能旋转变换,则称为x为矩阵A的特征向量,伸缩变换的倍数即为特征值

2 求特征值和特征向量

(1)写出特征多项式 ∣ E − A ∣ = 0 |E-A|=0 EA=0 求得特征值

(2)代入特征值求解方程组,解即为我们的特征向量

矩阵的迹

矩阵乘积为行列式

对角矩阵的特征向量,数学科学,线性代数,矩阵

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3 特征值和特征向量的应用

已知A的特征值

A − 1 A^{-1} A1的特征值可求

A的一个多项式特征值可求

所以把我们要求的值转换为A的多项式,进而求出特征值,求出行列式的值

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4 矩阵的对角化

非对称矩阵对角化

(1)求解特征值和特征向量

(2)特征向量组成我们的相乘矩阵P 特征值作为主对角线上的元素的对角矩阵就是我们对角化的矩阵

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对称矩阵对角化求正交矩阵

(1)求解特征值值和特征向量

(2)施密特正交化重根对应的特征向量,再单位化所有特征向量

(3)取向量依次组成我们的正交矩阵Q文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-762395.html

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