概率论第七章参数估计点估计、区间估计(置信区间)-Toy模板网

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一、点估计

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称为θ帽(θhat)

无偏估计量：

即：若θ的估计量的数学期望E()等于θ，则称θ的估计量是未知参数θ的无偏估计量。

题型：求数学期望

题型：证明A是B的无偏估计量

关键还是求数学期望。若E(A)=B，则称A是B的无偏估计量。

平方和拆成3项，第一项不变，后两项合并。

第一项是，

第二项是，

第三项是，

第二项和第三项合并以后为。

更有效估计量（近30年没考过）

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一致估计量（近年没考过）

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一般出现依概率收敛，就用大数定律！

回顾：切大与辛大条件不同，结论相同。

切大条件①Xi不相关②方差有界结论：

辛大条件①Xi独立同分布②期望存在结论：

题型：求数学期望

题型：无偏估计量

关键：

背出泊松分布的数学期望和方差

题型：综合较复杂。已知总体X的概率密度f(x)，求总体X的分布函数F(x)，求统计量的分布函数F(z)，计算统计量的数学期望。

二、估计量的求法（矩估计法和最大似然估计法）

1、矩估计法：通过解方程组“总体矩=样本矩"求出要估计的未知参数。

设总体X的分布含有未知参数θ1、θ2…θk，显然是关于θ1、θ2…θk的函数，样本的k阶原点矩，当k=1样本的一阶原点矩=。

由：总体X的k阶原点矩 = 样本Xi的k阶原点矩，可以建立k个方程组，解出k个未知参数θ1、θ2…θk。

★求k个参数的估计就列出一阶矩到k阶矩的方程，考试大纲只要求最多两个参数的估计，最多两个方程。① ②

原理:总体X和样本X1、X2…Xn独立同分布，所以总体X的分布中的未知参数θ1、θ2…=样本Xi的分布中的未知参数θ1、θ2…。

矩估计法不需要知道总体分布的具体分布数学形式，只要知道各阶矩存在。

2、最大似然估计法

第一步：写出似然函数L(θ)

1）总体X为离散型，似然函数L(θ) =样本概率分布全部相乘

2）总体X为连续型，似然函数L(θ) =样本概率密度全部相乘

第二步：找到未知参数θ的最大似然估计

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未知参数θ的最大似然估计量 ——大写Xi

未知参数θ的最大似然估计值 ——小写xi

易错点：

若题干给的是样本X1,X2,…Xn，答案写的是最大似然估计量

若题干给的是样本观测值x1,x2,…xn，答案写的是最大似然估计值

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最大似然估计法步骤：①写出似然函数L(θ) ②找到最大值点：似然函数取对数后，再对θ求导，使导数为0，找到最大值点 / 利用单调性，找出似然函数的最大值点。

题型：已知总体X服从的分布带有两个未知参数μ和

（1）求μ和的矩估计（2）求μ和的最大似然估计

规范写法：解得μ的矩估计=…，解得的矩估计=…

注意：似然函数表达式中的不要化开，那样会变复杂

似然函数取对数时，要以整体的方式出现，不要以单个出现。把凑成

题型：总体X服从指数分布(连续型)，求参数λ的最大似然估计值

题型：似然函数的最大值点不是驻点的情况，总体X服从均匀分布(连续型)，求未知参数θ的最大似然估计

题型：总体X是离散型，总体X的分布有未知参数θ，样本值具体知道——可以解出估计值的具体数值

易错点：

若题干给的是样本X1,X2,…Xn，答案写的是最大似然估计量

若题干给的是样本观测值x1,x2,…xn，答案写的是最大似然估计值

三、区间估计

最近1~2年考过1~2次

1、置信区间（或区间估计）

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θ的1-α置信区间：(θ1,θ2)，

P{θ1＜θ＜θ2}=1-α——通俗来说，估计两个值θ1和θ2，能把未知参数θ套住的概率是1-α。

置信水平(置信度)用1-α表示，表示参数的真实值落在置信区间中的概率（测量值的可信程度）。题目常给定的置信水平为0.95。（1-α=0.95，则α=0.05）

2、一个正态总体的区间估计

直接背住这两个1-α置信区间（两种情况：μ未知、已知和μ未知、未知）

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置信区间的计算取决于选用的统计量——置信区间是一个随机的区间，这里的随机是指端点为随机变量。这个随机变量通常是一个统计量，当抽取不同的样本时对应不同的值，从而对应不同的区间。

1）μ未知、已知时，选用一个正态总体的统计量分布：

2）μ未知、未知时（S已知），选用一个正态总体的统计量分布：

推导过程：

1、μ未知、已知时，求μ的1-α置信区间：

标准正态分布的概率密度图像：，为标准正态分布的上α/2分位点：满足P{X>}= 。

U~N(0,1)，由图像可明显看出U的1-α置信区间两个端点为-和，即

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可以推出μ的1-α置信区间为 $估计量的分布函数,概率论基础,概率论,机器学习,人工智能$ 。

①求出样本均值 ②查表得标准正态分布上分位点的值，根据已知的和n计算出 ③用样本均值加、减，得到置信区间的两个端点。

2、μ未知、未知，S已知时，求μ的1-α置信区间：

，t分布的概率密度f(x)图像：

同理可得μ的1-α置信区间为 $估计量的分布函数,概率论基础,概率论,机器学习,人工智能$ 。

①求出样本均值 ②查表得t分布上分位点的值，根据已知的S和n计算出 ③用样本均值加、减，得到置信区间的两个端点。