【数据结构】二叉树之链式结构-Toy模板网

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【数据结构】二叉树之链式结构,数据结构,数据结构,算法
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【数据结构】二叉树之链式结构,数据结构,数据结构,算法

一、前置说明

在学习二叉树各种各样的操作前，我们先来回顾一下二叉树的概念：

二叉树是度不超过2的树，由根结点和左右2个子树组成，每个子树也可以看作一颗二叉树，又可以拆分为根结点和左右两颗子树…

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是不是很熟悉，一个大问题可以拆分为两个子问题，每个子问题又可以拆分为更小的子问题，这样层层拆分到不可拆分（遇到空树）的过程，不就是递归吗！因此，我们可以得出：

树是递归定义的，后续树的各种操作正是围绕着这一点进行的。

二、二叉树的遍历

我们先从最简单的操作----遍历学起。所谓二叉树遍历(Traversal)就是按照某种特定的规则，依次对二叉树中的结点进行相应的操作，并且每个节点有且只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。遍历是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。二叉树的遍历分为四种：前序遍历、中序遍历、后序遍历和层序遍历。

2.1 前序遍历

前序遍历（Preorder Traversal）又称先根遍历，即先遍历根结点，再遍历左子树，最后遍历右子树。而对于子树的遍历，也服从上述规则。利用递归，我们可以很快地写出代码：

//前序遍历
void PrevOrder(BTNode* root) {
	//遇到空树，递归终点
    if (root == NULL) {
		printf("NULL ");

		return;
	}
    //对根节点进行操作（此处为打印）
	printf("%d ", root->val);
    //递归遍历左子树
	PrevOrder(root->left);
    //递归遍历右子树
	PrevOrder(root->right);
}

为了更好地理解这个过程，我们可以画出递归展开图如下：

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2.2 中序遍历

中序遍历（Inorder Traversal）又称中根遍历，即先遍历左子树，再遍历根结点，最后遍历右子树。同样，子树的遍历规则也是如此。递归代码如下：

void InOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}

	InOrder(root->left);
	printf("%d ", root->val);
	InOrder(root->right);
}

2.3 后序遍历

后序遍历（Inorder Traversal）又称后根遍历，即先遍历左子树，再遍历右子树，最后遍历根结点。照葫芦画瓢，递归代码如下：

void PostOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}

	PostOrder(root->left);
	PostOrder(root->right);
	printf("%d ", root->val);
}

2.4 层序遍历

除了上面的前中后序遍历，还可以对二叉树进行层序遍历。所谓层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第1层的根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推。这样自上而下，自左向右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

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与前面三种遍历不同，层序遍历属于广度优先遍历，因此我们可以利用队列先进先出的特性，将每个结点一层一层依次入队，然后依次出队进行操作即可。具体演示及代码如下：

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void LevelOrder(BTNode* root)
{
	Que q;
	QueueInit(&q);

	if (root)
		QueuePush(&q, root);

	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		printf("%d ", front->val);
		if (front->left)
			QueuePush(&q, front->left);

		if (front->right)
			QueuePush(&q, front->right);

		QueuePop(&q);
	}
	printf("\n");

	QueueDestroy(&q);
}

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三、二叉树的结点个数

3.1 二叉树的总结点数

一颗二叉树的结点数我们可以看作是根结点+左子树结点数+右子树结点数，那左右子树的结点数又是多少呢？按照相同的方法继续拆分，层层递归直到左右子树为空树，返回空树的结点数0即可。递归代码如下：

int TreeSize(BTNode* root)
{
	return root == NULL ? 0 : TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}

3.2 二叉树的叶子结点数

左右子树都为空的结点即是叶子结点。这里分为两种情况：左右子树都为空和左右子树不都为空。

当左右子树都为空时，则这颗树的叶子结点数为1(根节点)。
当左右子树不都为空，即根结点不是叶子结点时，这棵树的叶子结点数就为左子树叶子结点数+右子树叶子结点数（空树没有叶子结点）。

int TreeLeafSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return 0;

	if (root->left == NULL && root->right == NULL)
	{
		return 1;
	}

	return TreeLeafSize(root->left) + TreeLeafSize(root->right);
}

3.3 二叉树第k层结点数

类似的，一颗树第k层的结点数我们可以拆分为其左子树第k-1层结点+右子树第k-1层结点。这样层层递归下去，直到k==1求树的第1层结点数时返回1(树的第1层只有根结点)，而如果在递归过程中遇到空树就返回0(空树没有结点)。例如下面一颗树：

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int TreeKLevel(BTNode* root, int k)
{
	assert(k > 0);

	if (root == NULL)
		return 0;

	if (k == 1)
	{
		return 1;
	}

	return TreeKLevel(root->left, k - 1)
		+ TreeKLevel(root->right, k - 1);
}

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四、二叉树的高度/深度

树中结点的最大层次称为二叉树的高度。因此，一颗二叉树的高度我们可以看作是

1(根结点)+左右子树高度的较大值。层层递归下去直到遇到空树返回0即可，递归代码如下：

int TreeHeight(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return 0;

	return fmax(TreeHeight(root->left), TreeHeight(root->right)) + 1;
}

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五、二叉树的查找

二叉树的查找本质上就是一种遍历，只不过是将之前的打印操作换为查找操作而已。我们可以使用前序遍历来进行查找，先比较根结点是否为我们要查找的结点，如果是，之间返回；如果不是，遍历左子树和右子树，返回其查找的结果；如果都找不到，返回空指针。代码如下：

// 二叉树查找值为x的结点
BTNode* TreeFind(BTNode* root, int x)
{
	if (root == NULL)
		return NULL;

	if (root->val == x)
		return root;

	BTNode* ret = NULL;
	ret = TreeFind(root->left, x);
	if (ret)
		return ret;

	ret = TreeFind(root->right, x);
	if (ret)
		return ret;

	return NULL;
}

六、二叉树的创建和销毁

最后，我们再来看看如何来创建和销毁一颗二叉树。我们前面说过：二叉树是递归定义的。有了前面的基础，二叉树的创建和销毁也就不是什么难事了。

BTNode* BuyNode(int x)
{
	BTNode* node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	if (node == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		exit(-1);
	}

	node->val = x;
	node->left = NULL;
	node->right = NULL;

	return node;
}

// 二叉树销毁
void TreeDestroy(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return;
	}

	TreeDestroy(root->left);
	TreeDestroy(root->right);
	free(root);
	//root = NULL;
}