基本知识
文中的图片截图来自：【理论力学（免费）】理论力学期末考试速成课，不挂科！！
理论力学复习三大方面
静力学：研究物体平衡及平衡条件
运动学：研究物体的几何运动
动力学：研究物体运动与作用力之间的关系
物体的受力分析
- 三力平衡汇交：若刚体在三个里的作用下处于平横，且其中二力相交于一点时，则第三个力的作用线必通过同一点。
- 定义：受到两个力而平衡的构件称为二力构件，如果是直杆或弯杆则称为二力杆。
约束对应的约束力的画法
- 光滑接触表面约束：沿接触面的公法线而指向物体
- 柔性体约束：作用沿着柔索，指向背离物体
- 固定铰链约束与中间铰约束：一组正交力
- 活动铰支座：垂直于支撑面，通过销钉中心并指向物体
- 球铰链：三个正交分力
- 止推轴承：三个正交分力
- 分布载荷：
- - 均布载荷：$F_q=q\times{作用在杆上的距离L}$，作用点在杆上的距离$\frac{1}{2}{L}$处。 - 三角形载荷：$F_q=\frac{1}{2}{q_1\times{作用在杆上的距离L}}$，作用点在三角形垂直于杆的最长边，向内的$\frac{1}{3}L$处。
- 平面固定端约束：一对正交力+一个力偶；不知道力的朝向时，从平衡的角度考虑
常见的受力分析的步骤：
- 取分离体：根据问题的要求确定研究对象，将它从周围物体的约束中分离出来，单独划出研究对象的轮廓图形。
- 画已知力：载荷，特意知名的重力等，不特意指明重力的构建都是不考虑重力的。
- 画约束力：确定约束类型，根据约束性质画出约束反力。
力系的简化、物体在力系作用下的平衡条件
力系的简化
力矩的正负判断：顺时针为负，逆时针为正
主要包括：平面力系和空间力系
物体在力系作用下的平衡条件
平面力系包括：平面汇交力系（前两个公式）、平面力偶力系（第三个公式）、平面任意力系（平行）（三个公式）
∑
F
i
x
=
0
,
∑
F
i
y
=
0
,
∑
M
i
=
0
\sum{F_{ix}}=0,\sum{F_{iy}}=0,\sum{M_{i}}=0
∑Fix=0,∑Fiy=0,∑Mi=0
空间力系包括：空间汇交力系、空间力偶力系、空间任意力系（平行）
∑
F
x
=
0
∑
M
x
(
F
)
=
0
∑
F
y
=
0
∑
M
y
(
F
)
=
0
∑
F
z
=
0
∑
M
z
(
F
)
=
0
\sum{F_x}=0\space\sum{M_x(F)=0}\\ \sum{F_y}=0\space\sum{M_y(F)=0}\\ \sum{F_z}=0\space\sum{M_z(F)=0}\\
∑Fx=0 ∑Mx(F)=0∑Fy=0 ∑My(F)=0∑Fz=0 ∑Mz(F)=0
摩擦
滑动摩擦包括：静摩擦、动摩擦
静摩擦：
- 最大静摩擦力公式： F m a x = f ⋅ N F_{max}=f\cdot{N} Fmax=f⋅N（ f f f摩擦系数）
- 方向：与物体相对滑动趋势方向相反
- 物体在还没动起来之前，摩擦力都是 ≤ F m a x : 0 ≤ F ≤ F m a x \leq{F_{max}}:0\leq{F}\leq{F_{max}} ≤Fmax:0≤F≤Fmax
- 摩擦角（几何法）： t g φ = F m a x N = f ⋅ N N = f tg\varphi=\frac{F_{max}}{N}=\frac{f\cdot{N}}{N}=f tgφ=NFmax=Nf⋅N=f
动摩擦： F ′ = f ′ ⋅ N F\prime=f\prime\cdot{N} F′=f′⋅N（ f f f动摩擦系数）
方向：与物体运动方向相反
运动学
点的简单运动
研究物体的几何运动
根据运动的参考系不同，简单运动的判断标准：题目中的运动，都是相对同一个、定参考系在运动（平移、定轴转动）
刚体平移的特点：
- 其上任意直线始终平行于它的初始位置
- 任意点的轨迹可是直线也可是曲线
- 平移时个点轨迹形状相同
- 在任意瞬时个点的运动轨迹形状、速度、加速度都一样
- 即：平移刚体的运动可以简化为一个点的运动
平移的解题方法：直角坐标法+弧坐标法（自然法）
怎么判断定轴转动：有一条不变的线称为转轴，其余个点都在垂直于转轴的平面上做圆周运动
必背公式：
转角、角速度、角加速度：
φ
ω
=
d
φ
d
t
α
=
d
ω
d
t
=
d
2
φ
d
t
2
匀速转动：角速度
=
常量
角加速度：
φ
=
φ
0
+
ω
0
t
匀变速转动：
ω
=
ω
0
+
α
t
φ
=
φ
0
+
ω
0
t
+
1
2
α
t
2
ω
=
2
π
n
60
转动刚体内任意点的速度大小
=
刚体的角速度与该点轴线的垂直距离的乘积：
ν
=
ω
R
法相加速的（向心加速度）：方向与速度垂直并指向轴线。（
ρ
指半径，
s
指运动方程）
a
n
=
ν
2
ρ
=
R
ω
2
a
τ
=
s
′
′
a
τ
=
α
R
切向加速度：当角加速度为正时，切向加速度的方向沿着圆周切线，指向角
φ
的正向，否则相反。看
ω
和
α
的方向，同向时，切向加速度的方向与速度
ν
指向相同，异向时相反。
全加速度：
a
=
a
n
2
+
a
τ
2
=
R
ε
2
+
ω
4
全向加速度与法线间的夹角：
tan
θ
=
a
τ
a
n
=
∣
α
∣
ω
2
转角、角速度、角加速度：\varphi\space\space\space\space\space\omega=\frac{d\varphi}{dt}\space\space\space\space\space\alpha=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d^2\varphi}{dt^2}\\ 匀速转动：角速度=常量\\ 角加速度：\varphi=\varphi_0+\omega_0t\\ 匀变速转动：\omega=\omega_0+\alpha{t}\space\space\space\space\space\varphi=\varphi_0+\omega_0t+\frac{1}{2}{\alpha{t^2}}\space\space\space\space\space\omega=\frac{2\pi{n}}{60}\\ 转动刚体内任意点的速度大小=刚体的角速度与该点轴线的垂直距离的乘积：\nu=\omega{R}\\ 法相加速的（向心加速度）：方向与速度垂直并指向轴线。（\rho指半径，s指运动方程）\\ a_n=\frac{\nu^2}{\rho}=R\omega^2\space\space\space\space\space{a_\tau=s\prime\prime}\\ a_\tau=\alpha{R}切向加速度：当角加速度为正时，切向加速度的方向沿着圆周切线，指向角\varphi的正向，否则相反。看\omega和\alpha的方向，同向时，切向加速度的方向与速度\nu指向相同，异向时相反。\\ 全加速度：a=\sqrt{a_n^2+a_\tau^2}=R\sqrt{\varepsilon^2+\omega^4}\\ 全向加速度与法线间的夹角：\tan{\theta}=\frac{a_\tau}{a_n}=\frac{\vert\alpha\vert}{\omega^2}
转角、角速度、角加速度：φ ω=dtdφ α=dtdω=dt2d2φ匀速转动：角速度=常量角加速度：φ=φ0+ω0t匀变速转动：ω=ω0+αt φ=φ0+ω0t+21αt2 ω=602πn转动刚体内任意点的速度大小=刚体的角速度与该点轴线的垂直距离的乘积：ν=ωR法相加速的（向心加速度）：方向与速度垂直并指向轴线。（ρ指半径，s指运动方程）an=ρν2=Rω2 aτ=s′′aτ=αR切向加速度：当角加速度为正时，切向加速度的方向沿着圆周切线，指向角φ的正向，否则相反。看ω和α的方向，同向时，切向加速度的方向与速度ν指向相同，异向时相反。全加速度：a=an2+aτ2=Rε2+ω4全向加速度与法线间的夹角：tanθ=anaτ=ω2∣α∣
点的复杂运动
相对于不同参考系的运动是不同的。研究物体相对与不同参考系的运动（它们之间存在相对运动），分析物体相对于不同参考系运动之间的关系，就是复杂运动或合成运动。
知识点1：绝对运动、相对运动、牵连运动
- 动点相对于定系的运动，称动点的绝对运动。绝对速度 ν a \nu_a νa、绝对加速度 a a a_a aa
- 动点相对于动系的运动，称动点的相对运动。绝对速度 ν r \nu_r νr、绝对加速度 a r a_r ar
- 动系相对于定系的运动，称动点的牵动运动。绝对速度 ν e \nu_e νe、绝对加速度 a e a_e ae
动点动系选择的原则：
选了动点后，动系不可以固连在动点所在的物体上（否则就不存在相对运动了）。一般选择物体间连续接触的点作为动点。当没有连续接触点存在，可以选择圆心。尽量让三种运动的运动轨迹是明确的。
知识点2：速度合成定理： ν a → = ν e → + ν r → \overrightarrow{\nu_a}=\overrightarrow{\nu_e}+\overrightarrow{\nu_r} νa=νe+νr
解题步骤：
- 选取动点、动系和定系（都选地面）。
- 三种运动的分析。（分析出动点决定于绝对运动、相对运动、牵连运动的运动轨迹）
- 三种速度的分析。（三种运动的速度大小和方向）
- 根据速度合成定理，做速度平行四边形。根据速度平行四边形，求出未知量。
知识点3：牵连运动为平移时点的加速度合成定理
a
a
→
=
a
e
→
+
a
r
→
a
→
=
a
τ
→
+
a
n
→
\overrightarrow{a_a}=\overrightarrow{a_e}+\overrightarrow{a_r}\\ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{a^\tau}+\overrightarrow{a^n}\\
aa=ae+ara=aτ+an
知识点4：牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理
当牵连运动为转动时，存在科氏加速度：
a
c
=
2
ω
e
ν
r
sin
φ
,
(
φ
是
ω
e
ν
r
之间的夹角，
ω
采用右手螺旋定则来判断方向
)
科氏加速度的方向：
ν
r
沿着
ω
e
的方向旋转
90
°
就是
a
c
的方向
a
a
→
=
a
e
→
+
a
r
→
+
a
c
→
,
(
可以适当采用投影法来列式子
)
a
a
τ
→
+
a
a
n
→
=
a
e
τ
→
+
a
e
n
→
+
a
r
τ
→
+
a
r
n
→
+
a
c
→
a
τ
=
α
R
这一项不一定有，看题目中角速度
ω
是不是常量
当牵连运动为转动时，存在科氏加速度：a_c=2\omega_e\nu_r\sin\varphi,(\varphi是\omega_e\nu_r之间的夹角，\omega采用右手螺旋定则来判断方向)\\ 科氏加速度的方向：\nu_r沿着\omega_e的方向旋转90°就是a_c的方向\\ \overrightarrow{a_a}=\overrightarrow{a_e}+\overrightarrow{a_r}+\overrightarrow{a_c},(可以适当采用投影法来列式子)\\ \overrightarrow{a_a^\tau}+\overrightarrow{a_a^n}=\overrightarrow{a_e^\tau}+\overrightarrow{a_e^n}+\overrightarrow{a_r^\tau}+\overrightarrow{a_r^n}+\overrightarrow{a_c}\\ a_\tau=\alpha{R}\space这一项不一定有，看题目中角速度\omega是不是常量
当牵连运动为转动时，存在科氏加速度：ac=2ωeνrsinφ,(φ是ωeνr之间的夹角，ω采用右手螺旋定则来判断方向)科氏加速度的方向：νr沿着ωe的方向旋转90°就是ac的方向aa=ae+ar+ac,(可以适当采用投影法来列式子)aaτ+aan=aeτ+aen+arτ+arn+acaτ=αR 这一项不一定有，看题目中角速度ω是不是常量
解题步骤：
- 选取动点、动系和定系。
- 三种运动的分析：绝对运动、相对运动、牵连运动。
- 做速度分析，画出速度平行四边形，求出有关未知量（速度，角速度）。
- 做加速度分析（找每一个加速度的大小和方向），画出加速度矢量图，利用各种关系（三角关系）求出有关的加速度、叫加速度未知量。
刚体的平面运动
怎么判断平面运动：
刚体的平面运动可以看作是平移+转动的合成。也可以看作刚体绕着不断运动的轴的转动。
刚体平面运动中常考速度的方法：
瞬心法、投影法（同意平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等）、基点法
加速度的方法：
基点法
瞬心法：
确认瞬心：找刚体上的两个速度，做其垂线，能交于一点，便是他们的瞬心
瞬心的用法：可将瞬心看作一个定轴，构建上的各点的速度都等于构建的角速度 × \times ×该点到瞬心的距离
投影法：
基点法：
平面图形的运动可以看成是随着基点的平移和绕基点的转动的合成。
求平面图形内任意点的速度的基点法：在任意瞬时，平面图形内任意点的速度等于基点的速度和绕基点转动速度的矢量和，往往选取运动情况已知的点做基点。
取 A A A为基点，求平面图形内 B B B点的速度， ν B A ⊥ l A B \nu_{BA}\bot{l_AB} νBA⊥lAB设图示瞬时平面图形的角速度为 ω \omega ω，由速度合成定理知，牵连速度 ν e = ν A \nu_e=\nu_A νe=νA，相对速度 ν r = ν B A = ω l A B \nu_r=\nu_{BA}=\omega{l_{AB}} νr=νBA=ωlAB，则 ν B = ν A + ν B A \nu_B=\nu_A+\nu_BA νB=νA+νBA
动力学
质点动力学问题
分析问题更细一点，由原本的 F = m a F=ma F=ma转化到法向加速度方向、绝对加速度方向、等其他加速度方向
公式：
m
d
2
(
x
或
y
或
z
)
d
t
2
=
∑
i
=
1
n
F
(
x
或
y
或
z
)
i
m
a
=
F
m\frac{d^2(x或y或z)}{dt^2}=\sum_{i=1}^{n}{F_{(x或y或z)i}}\\ ma=F
mdt2d2(x或y或z)=i=1∑nF(x或y或z)ima=F
动量定理
找质心：
质点系的质心： ( x 或 y 或 z ) = ∑ m i ( x 或 y 或 z ) i M (x或y或z)=\frac{\sum{m_i(x或y或z)_i}}{M} (x或y或z)=M∑mi(x或y或z)i
动量：
- 质点的质量与速度的乘积： m ν m\nu mν
- 质点的动量是矢量，与速度同向，具有瞬时性，单位为 k g . m / s kg.m/s kg.m/s
- 质点系（刚体）动量：质点系中所有各质点动量的矢量和： P = ∑ i = 1 n m i ν i = m ν P=\sum_{i=1}^{n}{m_i\nu_i}=m\nu P=∑i=1nmiνi=mν
- 质点系（刚体）动量=质心速度与其全部质量的乘积
质点动量定理： m ν − m ν 0 = ∫ 0 t F d t = I m\nu-m\nu_0=\int_0^t{Fdt}=I mν−mν0=∫0tFdt=I
通常考质点系动量定理： d P d t = ∑ F i e \frac{dP}{dt}=\sum{F_i^{e}} dtdP=∑Fie
直角坐标： d P ( x 或 y 或 z ) d t = ∑ i = 1 n F ( x 或 y 或 z ) i e \frac{dP_{(x或y或z)}}{dt}=\sum_{i=1}^{n}{F_{(x或y或z)_i}^e} dtdP(x或y或z)=∑i=1nF(x或y或z)ie
自然轴系： d P ( τ 或 n 或竖直 ) d t = ∑ i = 1 n F ( τ 或 n 或竖直 ) i e \frac{dP_{(\tau或n或竖直)}}{dt}=\sum_{i=1}^{n}{F_{(\tau或n或竖直)_i}^e} dtdP(τ或n或竖直)=∑i=1nF(τ或n或竖直)ie
质心运动定理：质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用在质心系上外力的矢量和（或称外力的主矢量）
直角坐标： M a ( x 或 y 或 z ) = ∑ i = 1 n F Ma_{(x或y或z)}=\sum_{i=1}^{n}{F} Ma(x或y或z)=∑i=1nF
自然轴系： M a ( τ 或 n 或竖直 ) = ∑ i = 1 n F Ma_{(\tau或n或竖直)}=\sum_{i=1}^{n}{F} Ma(τ或n或竖直)=∑i=1nF
动量矩定理
质点的动量矩： L = m ν × l = P × l L=m\nu\times{l}=P\times{l} L=mν×l=P×l
质点系的动量矩： L 系 = ∑ i = 1 n L i L_系=\sum_{i=1}^{n}{L_i} L系=∑i=1nLi
动量矩对时间求导=力矩： d L d t = ∑ i = 1 n M F \frac{dL}{dt}=\sum_{i=1}^{n}{M_F} dtdL=∑i=1nMF
**刚体作平移时动量矩的计算：**将刚体的质量集中在刚体的质心上，按质点的动力矩计算。
刚体做定轴转动时动量矩的计算： L = J ω L=J\omega L=Jω
补充知识：
转动惯量：刚体对固定点的转动惯量： J = ∑ i = 1 n m i r i 2 J=\sum_{i=1}^{n}{m_ir_i^2} J=∑i=1nmiri2；圆板对中心轴的转动惯量： J = 1 2 m R 2 J=\frac{1}{2}{mR^2} J=21mR2。
常见均质物体的转动惯量：
| 形状 | 简图 | 转动惯量 |
|---|---|---|
| 细直杆 |  |
J Z O = m 3 l 2 J Z C = m 12 l 2 J_{ZO}=\frac{m}{3}{l^2}\\J_{ZC}=\frac{m}{12}{l^2} JZO=3ml2JZC=12ml2 |
| 薄壁圆筒 |  |
J Z = m R 2 J_Z=mR^2 JZ=mR2 |
| 圆柱 |  |
J Z = 1 2 m R 2 J X = J Y = m 12 ( 3 R 2 + l 2 ) J_Z=\frac{1}{2}{mR^2}\\J_X=J_Y=\frac{m}{12}(3R^2+l^2) JZ=21mR2JX=JY=12m(3R2+l2) |
动能定理
描述物体动能的变化与作用在物体上里的功之间的关系
功（常力直线运动）：
W
=
F
⋅
s
平时考的：质点的：
W
=
1
2
m
(
ν
2
2
−
ν
1
2
)
；质点系的：
W
=
∑
1
2
m
i
ν
i
2
−
∑
1
2
m
i
−
1
ν
i
−
1
2
作用于转动刚体上的力的功，力偶的功：
W
=
M
(
φ
2
−
φ
1
)
弹性力的功：
W
=
k
2
(
δ
1
2
−
δ
2
2
)
理想约束：约束力不作功或约束力作功之和等于零的约束
功（常力直线运动）：W=F\cdot{s}\\ 平时考的：质点的：W=\frac{1}{2}m(\nu_2^2-\nu_1^2)；质点系的：W=\sum{\frac{1}{2}{m_i\nu_i^2}}-\sum{\frac{1}{2}{m_{i-1}\nu_{i-1}^2}}\\ 作用于转动刚体上的力的功，力偶的功：W=M(\varphi_2-\varphi_1)\\ 弹性力的功：W=\frac{k}{2}(\delta_1^2-\delta_2^2)\\ 理想约束：约束力不作功或约束力作功之和等于零的约束\\
功（常力直线运动）：W=F⋅s平时考的：质点的：W=21m(ν22−ν12)；质点系的：W=∑21miνi2−∑21mi−1νi−12作用于转动刚体上的力的功，力偶的功：W=M(φ2−φ1)弹性力的功：W=2k(δ12−δ22)理想约束：约束力不作功或约束力作功之和等于零的约束
常见的理想约束：
- 光滑接触面约束、轴承约束、滚动铰支座
- 铰链约束
- 不可伸长的绳索（柔索约束）、二力杆约束
- 物体沿固定平面作纯滚，其法线约束力和摩擦力均不作功
- 刚体所有内力做功之和=0
动能：
质点的动能： T = 1 2 m ν 2 T=\frac{1}{2}{m\nu^2} T=21mν2文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-763638.html
质点系的动能： T = ∑ 1 2 m i ν i 2 T=\sum{\frac{1}{2}{m_i\nu_i^2}} T=∑21miνi2文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-763638.html
- 平移刚体的动能： T = ∑ 1 2 m i ν i 2 T=\sum{\frac{1}{2}{m_i\nu_i^2}} T=∑21miνi2
- 定轴转动刚体的动能： T = ∑ 1 2 m i ν i 2 = 1 2 ∑ m i r i 2 ω 2 = 1 2 J ω 2 T=\sum{\frac{1}{2}{m_i\nu_i^2}}=\frac{1}{2}\sum{m_ir_i^2}\omega^2=\frac{1}{2}{J\omega^2} T=∑21miνi2=21∑miri2ω2=21Jω2
- 平面运动刚体的动能： T = 1 2 J ω 2 T=\frac{1}{2}{J\omega^2} T=21Jω2
到了这里，关于理论力学知识点的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
