定理：
对于任意的矩阵 A ∈ R n × m A \in R^{n\times m} A∈Rn×m，有 ∥ A ∥ 2 2 = ∥ A T A ∥ 2 \left\|A\right\|_2^2=\left\|A^TA\right\|_2 ∥A∥22= ATA 2文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-763694.html
证明：
假设矩阵
A
T
A
A^TA
ATA最大特征值为
λ
\lambda
λ，即
∥
A
∥
2
2
=
λ
\left\|A\right\|_2^2=\lambda
∥A∥22=λ，设
λ
\lambda
λ对应的特征向量为
x
x
x，则有:
A
T
A
x
=
λ
x
A^TAx=\lambda x
ATAx=λx同时可以得到以下等式：
(
A
T
A
)
A
T
A
x
=
λ
A
T
A
x
=
λ
2
x
(A^TA)A^TAx=\lambda A^TAx=\lambda ^2x
(ATA)ATAx=λATAx=λ2x上式表明
λ
2
\lambda ^2
λ2同时是
(
A
T
A
)
A
T
A
(A^TA)A^TA
(ATA)ATA的特征值，而根据上一篇文章，可以知道
∥
A
T
A
∥
2
≤
∥
A
T
∥
2
∥
A
∥
2
=
∥
A
∥
2
2
=
λ
\left\|A^TA\right\|_2\le \left\|A^T\right\|_2\left\|A\right\|_2=\left\|A\right\|_2^2=\lambda
ATA
2≤
AT
2∥A∥2=∥A∥22=λ，所以可知
∥
A
T
A
∥
2
=
λ
2
=
λ
\left\|A^TA\right\|_2=\sqrt {{\lambda}^2} = \lambda
ATA
2=λ2=λ，故
∥
A
∥
2
2
=
∥
A
T
A
∥
2
\left\|A\right\|_2^2=\left\|A^TA\right\|_2
∥A∥22=
ATA
2成立，定理得证。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-763694.html
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