matlab-基于Malthus人口预测模型（笔记）-Toy模板网

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Malthus人口预测模型

P - 人口数量
t - 时间
r - 人口增长率

这个方程的假设体现在:

采用指数增长方程形式,呈指数增长趋势。
增长率r为正常数,不随时间变化。
未考虑人口增长的饱和状态。
未考虑出生率、死亡率等人口学参数。
未考虑人口增长对资源环境的反馈作用。
未考虑经济、政策等外生变量的影响。
未考虑战争、灾害等灾变的影响。
未考虑人口流动对区域分布的影响。
未考虑人口年龄结构、城乡分布等结构性差异。

根据马尔萨斯人口增长模型,人口数量P与时间t的关系可表示为:

P0 - 初始人口数量
r - 人口增长率
e - 自然常数,约等于2.718

该式表示人口按照指数增长的关系随时间变化,即随着时间的推移,人口数量呈指数增长状态。

这个关系的主要特点有:

当t=0时,P(0)=P0,符合初始人口数量。
当t增大时,P随之快速增长。
增长率和初始人口数量会影响具体的增长速度。
在时间段内呈指数增长,不会出现饱和。
该关系反映了马尔萨斯模型的核心假设。
可以从数据中评估模型的参数P0和r。
可以用于短期人口增长预测。

matlab导入简单数据

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year=1790:10:2000;
population=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4];
p2=log(population);
cftool

由于population人口数量P与时间t的关系不是线性的，所以令p2=log（population）使其变为线性。cftool是app中调用的曲线拟合工具。完成后，我们运行以上代码：

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根据提供的代码和数据,使用MATLAB进行马尔萨斯模型的曲线拟合和分析的具体步骤如下:

(1)导入数据:点击“导入数据”,选择p2作为Y数据,year作为X数据。

(2)选择模型:选择“ exponent”指数形式。

(3)点击“拟合”按钮进行拟合。

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在拟合类型中选择自定义方程：

r*(x-1790)+log(x0)

所以这个公式的意思是:

(x-1790)计算从初始年份到当前年份的时间跨度

r*(x-1790)计算这段时间内按增长率r的增长量

log(x0)代表初始人口数量对数

加起来则可以拟合整段时间内的人口数量对数

而后在拟合窗口得到结果：

常规模型:
f(x) = r*(x-1790)+log(x0)
系数(置信边界为 95%):
r = 0.02022 (0.01843, 0.02201)
x0 = 6.045 (4.718, 7.372)

拟合优度:
SSE: 1.304
R 方: 0.9652
调整 R 方: 0.9635
RMSE: 0.2553

所以得到人口预测函数方程：

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% 完整过程：
% 定义年份和人口数据
year = 1790:10:2000;  
population = [3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4];

% 对数转换人口数据 
p = log(population);  

% 调用cftool进行曲线拟合
cftool(year,p)

% 在cftool中自定义方程 
fittype('r*(x-1790)+log(x0)')


% 得到拟合方程
fit_eq = 'x=6.045*exp(0.02022*(t-1790))';

% 生成预测年份
year_pred = 1790:1:2020;

% 生成预测数据
population_pred = 6.045*exp(0.02022*(year_pred-1790)); 

% 绘制预测曲线  
plot(year_pred,population_pred,'r-')

% 在同轴上绘制实际数据
hold on
plot(year,population,'bo') 

% 修饰图表
legend('Predicted','Actual')
title('Population Prediction vs Actual')
xlabel('Year'); ylabel('Population') 

hold off

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可以预见的是，在人口增长后期，multhus模型不符合实际，需要引入新的模型限制其发展

Logistic阻滞增长模型

它揭示了一个普遍规律:缺乏约束的增长终会面临饱和状态。这启发我们复杂系统的思考。

反映资源约束条件下的增长规律
描述增长动力的衰减过程
模拟增长趋于稳定的规律
支持长期预测与规划
具有普适意义

r - 初始增长率,表示没有约束时的最大增长率。

s - 增长率衰减系数,控制增长率下降的速度。

x - 环境容量或资源量,代表外部约束条件。

r(x) - 在给定约束x下的增长率,随x变化而变化。

当x达到最大环境容纳量xm时,增长率r(xm)=0，将r(xm)=0带入原方程可得:r-sxm=0 --> sxm=r --> s=r/xm。

所以得到：

进一步的：

进一步的，增长率为：

*r(x)代表种群增长率，dx/dt 代表种群数量x随时间t变化的增长速度，dx/dt关联了决定因素r(x)和反馈因素x,描述增长动力衰减的机制。

转义为matlab的理解微分的方式：

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x(t) - 表示种群数量随时间t的变化函数

xm - 表示种群最大容量,也就是增长的饱和值

x0 - 表示初始时间t0时的种群数量

r - 表示未受约束时的最大增长率

t - 表示时间

t0 - 表示增长的起始时间

MATLAB中实现logistic增长模型时,使用了较复杂的方程形式:

x(t) = xm / (1 + (xm/x0 - 1)exp(-r(t-t0)))

而不是更简单的微分方程表示:

dx/dt = r*(1 - x/xm)*x

这样实现的主要考虑如下:

微分方程dx/dt需要进行数值积分才能得到x(t),比较复杂。

而方程x(t)直接给出了解析解,可以直接带入t得到x。

对于给定参数,通过方程x(t)直接计算更简单快速。

MATLAB强大的符号计算能力,可以直接使用解析解。

使代码实现更简洁直接,不需要调用数值积分函数。

分析方程形式也有利于理解参数对曲线的影响。

微分方程更侧重本质关系,但解析解对计算更友好。

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在进行拟合时，应该注意拟合系数约束

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进行拟合分析时,需要将模型参数r和xm的下限约束为0的主要原因有:

r表示增长率,是非负值,若允许为负则失去实际意义。

xm表示种群最大容量,也必须是非负值。

如果不加约束,拟合可能得到r或xm为负的结果。

负的r或xm在实际情况下是不合理的。

加入非负约束可以避免得到不合理的拟合参数。

使拟合结果在实际意义上更可解释。

一般来说,加入参数约束条件可以提高拟合的质量。

反映问题背后的实际情况,获得更合理的模型。

也体现了建模过程中加入先验知识的思想。

最后得到拟合结果

常规模型:
f(x) = xm./(1+(xm./3.9-1).*exp(-r.*(x-1790)))
系数(置信边界为 95%):
r = 0.02735 (0.0265, 0.0282)
xm = 342.4 (311, 373.8)

拟合优度:
SSE: 1225
R 方: 0.9924
调整 R 方: 0.992
RMSE: 7.826

除此之外还有类似模型比如

Lotka-Volterra模型也称为竞争型种群模型,是生态学中一个典型的种群动力学模型。该模型主要描述两个互相竞争的种群(一般指捕食者和被捕食者)之间的动态关系。

Lotka-Volterra模型使用一对微分方程表示:

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