【概率论】大数定律

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概要:首先介绍了切比雪夫不等式,然后介绍大数定律概念和3种大数定律及证明。

切比雪夫不等式

已知随机变量X的期望EX和方差DX,对大数定律,概率论,可得大数定律,概率论的一个上界。

大数定律,概率论

大数定律,概率论

解释:不论X服从什么分布,X在E(x)的ε大数定律,概率论邻域内取值的概率不小于1-Dxε2大数定律,概率论

证明:

大数定律,概率论

本质: 随机变量X偏离E(X)越大,则其概率越小。

大数定律,概率论

若方差越小,随机变量X集中在期望附近的可能性就越大,所以方差刻画了随件变量的离散程度。

随机变量X的分布未知的情况下,只利用X的期望和方差, 即可对X的概率分布进行估计。

大数定律:

依概率收敛:

X1,X2,…,Xn,…是一随机变量序列,如果存在一个常数a,对∀ε>0,总有limn→∞PXn-a=1成立。则称{Xn}依概率收敛于a,记为Xna

理解:随机变量Xn在n无穷大的时候无限趋近于常数a。

依概率收敛比普通意义的收敛弱些,具有某种不确定性。

大数定律的客观背景:

在大量随机试验中,事件发生的频率稳定于某一常数,测量值的算术平均值具有稳定性。

大数定律的概念:

当样本数据无限大时,样本均值趋于总体均值。现实生活中,无法进行无穷多次试验,大数定律说用频率近似替代概率,用样本均值近似代替总体均值。

用数学语言表示:

大数定律就是研究随机变量序列在什么条件下,大数定律,概率论依概率收敛于0。

为什么使用求和符号?

样本均值大数定律,概率论

总体均值大数定律,概率论

切比雪夫大数定律

设随机变量序列{Xn}是相互独立的序列,如果存在常数C,使得大数定律,概率论,则此随机变量序列大数定律,概率论服从大数定律。

证明:

大数定律,概率论

伯努利大数定律

大数定律,概率论大数定律,概率论重伯努利试验中事件大数定律,概率论发生的次数,大数定律,概率论,则对任意大数定律,概率论 有大数定律,概率论

 当伯努利重复试验次数大数定律,概率论充分大时,事件大数定律,概率论发生的频率大数定律,概率论与事件A的概率大数定律,概率论有较大偏差的概率很小。

证明:

大数定律,概率论

辛钦大数定律

在独立同分布场合,不需要方差的存在

设X1,X2,…,Xn是一个独立同分布的随机变量序列,且E(Xi)=u,则随机变量序列符合大数定律。

将随机变量X独立重复地观察n次, X1,...,Xn相互独立,且与X具有相同的分布。由辛钦大数定律, 可知当n充分大时, 可将n次结果的平均值作为E(X)的近似。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-765215.html

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