Hessian 矩阵(海森矩阵)

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了Hessian 矩阵(海森矩阵)。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

Hessian 矩阵(海森矩阵)是一个包含二阶偏导数信息的方阵,在数学和优化中起着重要作用。对于一个多元函数,其 Hessian 矩阵是由其各个变量的二阶偏导数组成的矩阵。

假设有一个函数 f ( x 1 , x 2 , … , x n ) f(x_1, x_2, \dots, x_n) f(x1,x2,,xn),其 Hessian 矩阵 (H) 的元素是:

H i j = ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j H_{ij} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} Hij=xixj2f

其中 i i i j j j 是变量的索引,表示函数对变量 x i x_i xi x j x_j xj 进行求导两次得到的结果。

Hessian 矩阵提供了函数局部极值的信息。在优化问题中,通过分析 Hessian 矩阵的特征值和特征向量,可以判断局部极值点的性质。比如:

  • 当 Hessian 矩阵在某点是正定(所有特征值均为正),这个点是局部最小值点。
  • 当 Hessian 矩阵在某点是负定(所有特征值均为负),这个点是局部最大值点。
  • 当 Hessian 矩阵在某点的特征值有正有负,这个点是鞍点(saddle point)。

Hessian 矩阵在优化算法中的应用非常广泛,特别是对于牛顿法等利用二阶导数信息的算法。

考虑一个简单的二元函数:

f ( x , y ) = x 2 + 2 y 2 f(x, y) = x^2 + 2y^2 f(x,y)=x2+2y2

这个函数的 Hessian 矩阵是:

H = [ 2 0 0 4 ] H = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} H=[2004]

这个矩阵中的元素 H i j H_{ij} Hij 表示函数对 x i x_i xi x j x_j xj的二阶偏导数。在这个例子中, H 11 = 2 H_{11} = 2 H11=2 H 22 = 4 H_{22} = 4 H22=4,其余元素为零。

观察 Hessian 矩阵的特征值:

det ( H − λ I ) = 0 \text{det}(H - \lambda I) = 0 det(HλI)=0

其中 I I I 是单位矩阵, λ \lambda λ 是特征值。解这个方程可以得到 Hessian 矩阵的特征值。

对于这个例子,特征值为 λ 1 = 2 \lambda_1 = 2 λ1=2 λ 2 = 4 \lambda_2 = 4 λ2=4,都是正值,说明这个函数在原点附近是一个局部最小值点。这与我们对函数形式的了解是一致的,因为 f ( x , y ) = x 2 + 2 y 2 f(x, y) = x^2 + 2y^2 f(x,y)=x2+2y2是一个沿着 x 方向开口朝上的二次型,所以原点是一个局部最小值点。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-766013.html

到了这里,关于Hessian 矩阵(海森矩阵)的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处: 如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请点击违法举报进行投诉反馈,一经查实,立即删除!

领支付宝红包 赞助服务器费用

相关文章

  • matlab 二阶导(海森矩阵)的数值计算(附代码和示例)

    海森矩阵中就是单值函数对自变量(可以是向量,如 x = [ x 1 , x 2 , x 3 , . . . ] mathbf{x}=[x_1,x_2,x_3,...] x = [ x 1 ​ , x 2 ​ , x 3 ​ , ... ] )的二阶导数: 其中元素,如G的第一行第二列元素的定义如下: 可以看出是两个一阶导数的差再除以一个微小增量。如果 x mathbf{x} x 是个二元

    2024年02月03日
    浏览(52)
  • 雅可比矩阵,Hessian矩阵

            由一阶偏导数构成的矩阵,发明它的目的主要是为了简化求导公式。         假设有这样一个函数可以把n维的向量x映射为k维的向量y。,其中每个和每个都是相关的,也就是每个是单独从映射过来的函数,它的雅可比矩阵就是每个分别对每个求偏导,然后构成的

    2024年02月05日
    浏览(58)
  • 机器学习基础08-模型选择02-分类算法矩阵(基于Pima 数据集)

    算法评估矩阵(Algorithm Evaluation Metrics)用于评估机器学习算法在特定任务上的 性能 。不同的任务可能会使用不同的评估矩阵,因为每个任务的优劣衡量标准都不同。 分类问题或许是最常见的机器学习问题,并且有多种评估矩阵来评估 分类算法。以下几种用来评估分类算法

    2024年02月14日
    浏览(47)
  • 由黑塞(Hessian)矩阵引发的关于正定矩阵的思考

    最近看论文,发现论文中有通过黑塞(Hessian)矩阵提高电驱系统稳定性的应用。所以本篇主要从Hessian矩阵的性质出发,对其中正定矩阵的判定所引发的想法进行记录。 (其实看论文出现黑塞很惊奇,因为前不久刚读了作家黑塞的《德米安:彷徨少年时》,所以在这一领域的黑塞

    2024年02月06日
    浏览(47)
  • 机器学习实战教程(四):从特征分解到协方差矩阵:详细剖析和实现PCA算法

    方差和标准差的原理和实例演示,请参考 方差 方差(Variance)是度量一组数据的分散程度。方差是各个样本与样本均值的差的平方和的均值: 标准差 标准差是数值分散的测量。 标准差的符号是 σ (希腊语字母 西格马,英语 sigma) 公式很简单:方差的平方根。 协方差 通俗

    2024年02月02日
    浏览(50)
  • 雅可比(jacobian)、黑塞矩阵(Hessian)

    雅可比矩阵和行列式(Jacobian)_雅可比行列式_JasonKQLin的博客-CSDN博客  在牛顿迭代法、L-M中求解非线性方程组,都会用到雅可比(一阶偏导数) 和黑塞矩阵(2阶偏导数)矩阵。 雅可比矩阵 是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵, 其行列式称为雅可比行列式。 ​   是一个从欧

    2024年02月03日
    浏览(54)
  • 机器学习基础08-回归算法矩阵分析(基于波士顿房价(Boston House Price)数据集)

    回归算法通常涉及到使用矩阵来表示数据和模型参数。线性回归是最常见的回归算法之一,它可以用矩阵形式来表示。 考虑一个简单的线性回归模型: y = m x + b y = mx + b y = m x + b ,其中 y y y 是因变量, x x x 是自变量, m m m 是斜率, b b b 是截距。将这个模型表示成矩阵形式

    2024年02月14日
    浏览(42)
  • Hessian 矩阵与凸性:从数学理论到实际应用

    在现代计算机科学和人工智能领域,优化问题是非常常见的。这些问题通常涉及到最小化或最大化一个函数,以实现一定的目标。例如,在机器学习中,我们可能需要最小化损失函数以实现模型的训练;在操作研究中,我们可能需要最小化成本函数以实现资源的分配;在信号

    2024年04月27日
    浏览(34)
  • 高维数据处理:Hessian 矩阵与凸性函数的挑战

    高维数据处理是现代数据科学和机器学习领域中的一个重要话题。随着数据规模的增加,数据的维度也在不断增加,这为数据处理和分析带来了巨大挑战。在高维空间中,数据之间的相关性和结构变得复杂且难以理解。因此,研究高维数据处理的方法和技术成为了一项紧迫的

    2024年02月20日
    浏览(36)
  • 深入探讨:Hessian 矩阵在凸性优化中的重要作用

    凸性优化是一种广泛应用于计算机科学、数学、经济学等领域的优化方法。它主要解决的问题是在一个凸函数空间中找到一个局部最小值或全局最小值。凸性优化的一个关键步骤是通过计算函数的二阶导数来确定函数在某一点的凸性或凹性。这里的二阶导数通常表示为 Hessi

    2024年02月19日
    浏览(38)

觉得文章有用就打赏一下文章作者

支付宝扫一扫打赏

博客赞助

微信扫一扫打赏

请作者喝杯咖啡吧~博客赞助

支付宝扫一扫领取红包,优惠每天领

二维码1

领取红包

二维码2

领红包