概率论中的 50 个具有挑战性的问题 [第 6 部分]:Chuck-a-Luck

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了概率论中的 50 个具有挑战性的问题 [第 6 部分]:Chuck-a-Luck。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

一、说明

        我最近对与概率有关的问题产生了兴趣。我偶然读到了弗雷德里克·莫斯特勒(Frederick Mosteller)的《概率论中的五十个具有挑战性的问题与解决方案》)一书。我认为创建一个系列来讨论这些可能作为面试问题出现的迷人问题会很有趣。每篇文章只有 1 个问题,使其成为一个总共有 50 个部分的系列。让我们潜入并激活我们的脑细胞!

概率论中的 50 个具有挑战性的问题 [第 6 部分]:Chuck-a-Luck,概率模型,概率论

图片由作者使用 DALL-E 3 提供。

        Chuck-a-Luck 是一种赌博游戏,经常在嘉年华会和赌场玩。玩家可以投注数字 1、2、3、4、5、6 中的任何一个。掷三个骰子。如果玩家的号码出现在骰子的一、二、三上,他将分别获得他原始赌注的一倍、两倍或三倍加上他自己的钱;否则,他将失去股份。

        问题:玩家每单位赌注的预期损失是多少?

(实际上,玩家可以在几个数字上分配赌注,但每个这样的赌注都可以被视为一个单独的赌注。

二、问题分析:

        合乎逻辑的方法是在六个数字中的每一个上放置一个单位赌注,导致玩家总共下注 6 个单位。有三种不同的可能情况:(1)三个骰子上的所有数字都不同,(2)骰子上的两个数字完全相同,(3)三个骰子上的所有数字都相同。让我们分别考虑每种情况。

        情况(1):三个骰子上的所有数字都不同。
        在这种情况下,您从三个中奖号码中赢了三个单位,但从三个输号码中损失了三个单位。因此,损失为 0 (3–3)。有多少种不同的方法可以得到三个不同的数字?它是 6 x 5 x 4 = 120 种方式。掷三个骰子的总可能结果是 6 x 6 x 6 = 216

因此,在所有数字都不同的情况下,预期损失为 0 * (120/216) = 0。

        情况(2):骰子上的两个数字完全相同。
        在这种情况下,您赢得了三个单位,因为您从相同的数字中获得两个单位,从单个不同的数字中获得一个单位。但是,您从四个 (6-2) 失败数字中的四个单位中输掉。因此,每单位赌注的损失为 1/6 (4/6–3/6)。有多少种不同的方法可以得到两个相同的数字?它是 6 x 5 x 3 = 90 种方式。

因此,在两个数字完全相同的情况下,预期损失为 1/6 * (90/216) = 15/216。

        情况(3):三个骰子上的所有数字都相同。
        在这种情况下,您赢得了三个单位,因为您从相同的数字中获得三个单位。但是,您从五个 (6-1) 个失败数字中的五个单位中输掉了。因此,每单位赌注的损失为 2/6 (5/6–3/6)。有多少种不同的方法可以得到两个相同的数字?它只是 种方式。

因此,在所有三个数字都相同的情况下,预期损失为 2/6 * (6/216) = 1/108。

        要计算玩家每单位赌注的预期损失,只需将所有三种情况的预期损失相加即可。

结合所有三种情况,玩家每单位赌注的预期损失为 0 + 15/216 + 1/108 = 0.079。

三、替代解决方案:

        另一种方法是假设玩家只在一个数字上放置一个单位赌注。有四种不同的可能情况:(1)玩家的号码没有出现在三个骰子中的任何一个上,(2)玩家的号码出现在一个骰子上,(3)玩家的号码出现在两个骰子上,(4)玩家的号码出现在所有三个骰子上。让我们分别考虑每种情况。

情况(1):玩家的号码没有出现在三个骰子中的任何一个上。
发生这种情况的概率是 (5/6)³ = 125/216。

情况(2):玩家的号码出现在一个骰子上。
发生这种情况的概率是 (1/6) * (5/6)² * 3C1 = 25/72。

情况(3):玩家的号码出现在两个骰子上。
发生这种情况的概率是 (1/6)² * (5/6) * 3C2 = 5/72。

情况(4):玩家的号码出现在所有三个骰子上。
发生这种情况的概率为 (1/6)³ * 3C3 = 1/216。

通过将概率乘以每种情况的损失,我们得到与之前相同的结果(如下图所示)。

概率论中的 50 个具有挑战性的问题 [第 6 部分]:Chuck-a-Luck,概率模型,概率论

每单位股份的预期损失。

Python 代码:

import numpy as np

n_trials = 10000000
choice = np.random.randint(1,7, size = (n_trials,1))
rolls = np.random.randint(1,7, size = (n_trials, 3))
count = np.sum(choice==rolls, axis=1)
mean_loss = (np.sum(count==0) + (-1)*np.sum(count))/n_trials
print(f'Expected loss per unit stake: {mean_loss:.3f}')

# Output:
# Expected loss per unit stake: 0.079

这就是这个运气🎲问题的全部内容。欢迎任何反馈或问题!该代码可在我的 Github 上找到。请继续关注本系列的下一部分!:)文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-767241.html

到了这里,关于概率论中的 50 个具有挑战性的问题 [第 6 部分]:Chuck-a-Luck的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处: 如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请点击违法举报进行投诉反馈,一经查实,立即删除!

领支付宝红包 赞助服务器费用

相关文章

  • 概率论中的Hidden Markov Model

    Hidden Markov Model(HMM)是一种概率模型,用于描述一系列随机过程中的隐藏状态。它在许多领域得到了广泛应用,例如语音识别、自然语言处理、计算机视觉、生物信息学等。在这篇文章中,我们将深入探讨HMM的核心概念、算法原理、具体操作步骤以及数学模型公式。 1.1.1 隐藏状

    2024年04月14日
    浏览(61)
  • python 实现大语言模型中的概率论:两人轮流出手对决时取胜概率的推导

    假设你跟朋友通过打赌投篮来打赌一万块。你们找到一个篮球框,然后约定轮流投篮,谁先投进谁赢。假设你投进的概率是 p,也就是投不进的概率是 1-p,你对手投进的概率是 q,投不进的概率是 1-q,如果由你先投,那么你取胜的概率是多少。 在上面问题中我们把事情进行了

    2024年01月23日
    浏览(46)
  • 概率论在激光雷达的目标检测和跟踪中的应用

    概率论在激光雷达的目标检测和跟踪中发挥着重要的作用,通过建立概率模型和应用贝叶斯推断,可以处理激光雷达数据的不确定性,并提供准确的目标检测和跟踪结果。概率模型是激光雷达目标检测和跟踪的基础。激光雷达可以提供目标的位置、速度和形状等信息,但由于

    2024年01月19日
    浏览(44)
  • 数学模型在人工智能中的使用:统计学和概率论

    数学模型在人工智能中的使用:统计学和概率论 随着人工智能技术的发展,数学模型的重要性越来越突出。数学模型可以帮助人工智能

    2024年02月16日
    浏览(48)
  • 【算法小记】——机器学习中的概率论和线性代数,附线性回归matlab例程

    内容包含笔者个人理解,如果错误欢迎评论私信告诉我 线性回归matlab部分参考了up主DR_CAN博士的课程 在回归拟合数据时,根据拟合对象,可以把分类问题视为一种简答的逻辑回归。在逻辑回归中算法不去拟合一段数据而是判断输入的数据是哪一个种类。有很多算法既可以实现

    2024年01月24日
    浏览(45)
  • AI人工智能中的概率论与统计学原理与Python实战:隐马尔可夫模型(HMM)的理解与实现...

    随着人工智能技术的不断发展,人工智能已经成为了许多行业的核心技术之一。在人工智能中,概率论和统计学是非常重要的一部分,它们可以帮助我们更好地理解和解决问题。在本文中,我们将讨论概率论与统计学原理在人工智能中的应用,以及如何使用Python实现隐马尔可

    2024年04月10日
    浏览(57)
  • AI人工智能中的概率论与统计学原理与Python实战:35. Python实现量子计算与量子机器学习...

    量子计算和量子机器学习是人工智能领域的一个重要分支,它们利用量子物理现象来解决一些传统计算方法无法解决的问题。量子计算的核心是量子比特(qubit),它可以存储多种信息,而不是传统的二进制比特(bit)。量子机器学习则利用量子计算的优势,为机器学习问题提供更

    2024年04月14日
    浏览(59)
  • 概率论与数理统计 第一章 概率论的基本概念

    1.1.1 前言 1.研究对象: 确定性现象:必然发生或不发生 随机现象:个别试验结果呈现不确定性,大量试验结果呈现统计规律性 2.概率论与数理统计: ​ 该学科是研究和揭示随机现象统计规律性的学科。 1.1.2 随机试验 1.定义: 可以在相同条件下重复进行; 每次试验的结果可

    2024年03月20日
    浏览(55)
  • 【概率论】几何概率、条件概率及全概率公式作业

    有两箱零件,第一箱装50件,其中20件是一等品;第二箱装30件,其中18件是一等品,现从两箱中随意挑出一箱,然后从该箱中先后任取两个零件,试求第一次取出的零件是一等品的概率_____(结果小数点后保留1位) 【正确答案:0.5 或1/2】 解析: 设A₁,A₂分别表示“挑出第一箱

    2024年02月11日
    浏览(47)
  • 【概率论】条件概率与独立性题目

    已知随机事件A与B满足条件:0P(A)1,0P(B)1。则事件A,B相互独立的充要条件是( C )。 A. P ( B ∣ A ) + P ( B ∣ A ˉ ) = 1 P(B|A)+P(B|bar{A})=1 P ( B ∣ A ) + P ( B ∣ A ˉ ) = 1 B. P ( B ∣ A ) + P ( B ˉ ∣ A ) = 1 P(B|A)+P(bar{B}|A)=1 P ( B ∣ A ) + P ( B ˉ ∣ A ) = 1 C. P ( B ∣ A ) + P ( A ˉ ∣ B ˉ ) = 1 P(B|A)

    2024年02月11日
    浏览(38)

觉得文章有用就打赏一下文章作者

支付宝扫一扫打赏

博客赞助

微信扫一扫打赏

请作者喝杯咖啡吧~博客赞助

支付宝扫一扫领取红包,优惠每天领

二维码1

领取红包

二维码2

领红包