离散数学试题及答案
一、填空题
1 设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; r(A) - r(B)＝ __________________________ .
2. 设有限集合A, |A| = n, 则 |r(A×A)| = __________________________.
3. 设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________.
4. 已知命题公式G＝Ø(P®Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________
__________________________________________________________.
5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________.
6 设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从AÇB＝_________________________; AÈB＝_________________________;A－B＝ _____________________ .
7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________.
8. 设命题公式G＝Ø(P®(QÙR))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________.
9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1·R2 = ________________________,R2·R1 =____________________________, R12 =________________________.
10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |r(A´B)| = _____________________________.
11 设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, xÎR}, B = {x | 0≤x < 2, xÎR},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ ,
A∩B = __________________________ , .
13. 设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________.
14. 设一阶逻辑公式G = "xP(x)®$xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____.
15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
16. 设谓词的定义域为{a, b},将表达式"xR(x)→$xS(x)中量词消除，写成与之对应的命题公式是__________________________________________________________________________.
17. 设集合A＝{1, 2, 3, 4}，A上的二元关系R＝{(1,1),(1,2),(2,3)}, S＝{(1,3),(2,3),(3,2)}。则R×S＝_____________________________________________________,
R2＝______________________________________________________.
二、选择题
1 设集合A={2,{a},3,4}，B = {{a},3,4,1}，E为全集，则下列命题正确的是( )。
(A){2}ÎA (B){a}ÍA (C)ÆÍ{{a}}ÍBÍE (D){{a},1,3,4}ÌB.
2 设集合A={1,2,3},A上的关系R＝{(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}，则R不具备( ).
(A)自反性 (B)传递性 (C)对称性 (D)反对称性
3 设半序集(A,≤)关系≤的哈斯图如下所示，若A的子集B = {2,3,4,5},则元素6为B的( )。
(A)下界 (B)上界 (C)最小上界 (D)以上答案都不对
4 下列语句中，( )是命题。
(A)请把门关上 (B)地球外的星球上也有人
(C)x + 5 > 6 (D)下午有会吗？
5 设I是如下一个解释：D＝{a,b},
则在解释I下取真值为1的公式是( ).
(A)$x"yP(x,y) (B)"x"yP(x,y) (C)"xP(x,x) (D)"x$yP(x,y).
6. 若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是( ).
(A)(1,2,2,3,4,5) (B)(1,2,3,4,5,5) (C)(1,1,1,2,3) (D)(2,3,3,4,5,6).
7. 设G、H是一阶逻辑公式，P是一个谓词，G＝$xP(x), H＝"xP(x),则一阶逻辑公式G®H是( ).
(A)恒真的 (B)恒假的 (C)可满足的 (D)前束范式.
8 设命题公式G＝Ø(P®Q)，H＝P®(Q®ØP)，则G与H的关系是( )。
(A)GÞH (B)HÞG (C)G＝H (D)以上都不是.
9 设A, B为集合，当( )时A－B＝B.
(A)A＝B (B)AÍB (C)BÍA (D)A＝B＝Æ.
10 设集合A = {1,2,3,4}, A上的关系R＝{(1,1),(2,3),(2,4),(3,4)}, 则R具有( )。
(A)自反性 (B)传递性 (C)对称性 (D)以上答案都不对
11 下列关于集合的表示中正确的为( )。
(A){a}Î{a,b,c} (B){a}Í{a,b,c} (C)ÆÎ{a,b,c} (D){a,b}Î{a,b,c}
12 命题"xG(x)取真值1的充分必要条件是( ).
(A) 对任意x，G(x)都取真值1. (B)有一个x0，使G(x0)取真值1.
(C)有某些x，使G(x0)取真值1. (D)以上答案都不对.
13. 设G是连通平面图，有5个顶点，6个面，则G的边数是( ).
(A) 9条 (B) 5条 (C) 6条 (D) 11条.
14. 设G是5个顶点的完全图，则从G中删去( )条边可以得到树.
(A)6 (B)5 (C)10 (D)4.
15. 设图G的相邻矩阵为
，则G的顶点数与边数分别为( ).
(A)4, 5 (B)5, 6 (C)4, 10 (D)5, 8.
三、计算证明题
1.设集合A＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12}，R为整除关系。
(1) 画出半序集(A,R)的哈斯图；
(2) 写出A的子集B = {3,6,9,12}的上界，下界，最小上界，最大下界；
(3) 写出A的最大元，最小元，极大元，极小元。
1. 设集合A＝{1, 2, 3, 4}，A上的关系R＝{(x,y) | x, yÎA 且 x ³ y}, 求
(1) 画出R的关系图；
(2) 写出R的关系矩阵.
2. 设R是实数集合，s,t,j是R上的三个映射，s(x) = x+3, t(x) = 2x, j(x) ＝ x/4,试求复合映射s•t，s•s, s•j, j•t，s•j•t.
4. 设I是如下一个解释：D = {2, 3},
a
b
f (2)
f (3)
P(2, 2)
P(2, 3)
P(3, 2)
P(3, 3)
3
2
3
2
0
0
1
1
试求 (1) P(a, f (a))∧P(b, f (b));
(2) "x$y P (y, x).
5. 设集合A＝{1, 2, 4, 6, 8, 12}，R为A上整除关系。
(1) 画出半序集(A,R)的哈斯图；
(2) 写出A的最大元，最小元，极大元，极小元；
(3) 写出A的子集B = {4, 6, 8, 12}的上界，下界，最小上界，最大下界.
6. 设命题公式G = Ø(P→Q)∨(Q∧(ØP→R)), 求G的主析取范式。
7. (9分)设一阶逻辑公式：G = ("xP(x)∨$yQ(y))→"xR(x)，把G化成前束范式.
9. 设R是集合A = {a, b, c, d}. R是A上的二元关系, R = {(a,b), (b,a), (b,c), (c,d)},
(1) 求出r(R), s(R), t(R)；
(2) 画出r(R), s(R), t(R)的关系图.
11. 通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价：
(1) G = (P∧Q)∨(ØP∧Q∧R)
(2) H = (P∨(Q∧R))∧(Q∨(ØP∧R))
13. 设R和S是集合A＝{a, b, c, d}上的关系，其中R＝{(a, a),(a, c),(b, c),(c, d)}, S＝{(a, b),(b, c),(b, d),(d, d)}.
(1) 试写出R和S的关系矩阵；
(2) 计算R•S, R∪S, R－1, S－1•R－1.
四、证明题
1. 利用形式演绎法证明：{P→Q, R→S, P∨R}蕴涵Q∨S。
2. 设A,B为任意集合，证明：(A-B)-C = A-(B∪C).
3. (本题10分)利用形式演绎法证明：{ØA∨B, ØC→ØB, C→D}蕴涵A→D。
4. (本题10分)A, B为两个任意集合，求证：
A－(A∩B) = (A∪B)－B .
参考答案
一、填空题
1. {3}; {{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.
2.
.
3. a1= {(a,1), (b,1)}, a2= {(a,2), (b,2)},a3= {(a,1), (b,2)}, a4= {(a,2), (b,1)}; a3, a4.
4. (P∧ØQ∧R).
5. 12, 3.
6. {4}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2}.
7. 自反性；对称性；传递性.
8. (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0).
9. {(1,3),(2,2),(3,1)}; {(2,4),(3,3),(4,2)}; {(2,2),(3,3)}.
10. 2m´n.
11. {x | -1≤x < 0, xÎR}; {x | 1 < x < 2, xÎR}; {x | 0≤x≤1, xÎR}.
12. 12; 6.
13. {(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)}.
14. $x(ØP(x)∨Q(x)).
15. 21.
16. (R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)).
17. {(1, 3),(2, 2)}; {(1, 1),(1, 2),(1, 3)}.
二、选择题
1. C. 2. D. 3. B. 4. B.
5. D. 6. C. 7. C.
8. A. 9. D. 10. B. 11. B.
13. A. 14. A. 15. D
三、计算证明题
1.
(1)
(2) B无上界，也无最小上界。下界1, 3; 最大下界是3.
(3) A无最大元，最小元是1，极大元8, 12, 90+; 极小元是1.
2.R = {(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
(1)
(2)
3. (1)s•t＝s(t(x))＝t(x)+3＝2x+3＝2x+3.
(2)s•s＝s(s(x))＝s(x)+3＝(x+3)+3＝x+6,
(3)s•j＝s(j(x))＝j(x)+3＝x/4+3,
(4)j•t＝j(t(x))＝t(x)/4＝2x/4 = x/2,
(5)s•j•t＝s•(j•t)＝j•t+3＝2x/4+3＝x/2+3.
4. (1) P(a, f (a))∧P(b, f (b)) = P(3, f (3))∧P(2, f (2))
= P(3, 2)∧P(2, 3)
= 1∧0
= 0.
(2) "x$y P (y, x) = "x (P (2, x)∨P (3, x))
= (P (2, 2)∨P (3, 2))∧(P (2, 3)∨P (3, 3))
= (0∨1)∧(0∨1)
= 1∧1
= 1.
5. (1)
(2) 无最大元，最小元1，极大元8, 12; 极小元是1.
(3) B无上界，无最小上界。下界1, 2; 最大下界2.
6. G = Ø(P→Q)∨(Q∧(ØP→R))
= Ø(ØP∨Q)∨(Q∧(P∨R))
= (P∧ØQ)∨(Q∧(P∨R))
= (P∧ØQ)∨(Q∧P)∨(Q∧R)
= (P∧ØQ∧R)∨(P∧ØQ∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(ØP∧Q∧R)
= (P∧ØQ∧R)∨(P∧ØQ∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧ØR)∨(ØP∧Q∧R)
= m3∨m4∨m5∨m6∨m7 = S(3, 4, 5, 6, 7).
7. G = ("xP(x)∨$yQ(y))→"xR(x)
= Ø("xP(x)∨$yQ(y))∨"xR(x)
= (Ø"xP(x)∧Ø$yQ(y))∨"xR(x)
= ($xØP(x)∧"yØQ(y))∨"zR(z)
= $x"y"z((ØP(x)∧ØQ(y))∨R(z))
9. (1) r(R)＝R∪IA＝{(a,b), (b,a), (b,c), (c,d), (a,a), (b,b), (c,c), (d,d)},
s(R)＝R∪R－1＝{(a,b), (b,a), (b,c), (c,b) (c,d), (d,c)},
t(R)＝R∪R2∪R3∪R4＝{(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (c,d)}；
(2)关系图:
11. G＝(P∧Q)∨(ØP∧Q∧R)
＝(P∧Q∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(ØP∧Q∧R)
＝m6∨m7∨m3
＝å (3, 6, 7)
H = (P∨(Q∧R))∧(Q∨(ØP∧R))
＝(P∧Q)∨(Q∧R))∨(ØP∧Q∧R)
＝(P∧Q∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(ØP∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(ØP∧Q∧R)
＝(P∧Q∧ØR)∨(ØP∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)
＝m6∨m3∨m7
＝å (3, 6, 7)
G,H的主析取范式相同，所以G = H.
13. (1)
(2)R•S＝{(a, b),(c, d)},
R∪S＝{(a, a),(a, b),(a, c),(b, c),(b, d),(c, d),(d, d)},
R－1＝{(a, a),(c, a),(c, b),(d, c)},
S－1•R－1＝{(b, a),(d, c)}.
四 证明题
1. 证明：{P→Q, R→S, P∨R}蕴涵Q∨S
(1) P∨R P
(2) ØR→P Q(1)
(3) P→Q P
(4) ØR→Q Q(2)(3)
(5) ØQ→R Q(4)
(6) R→S P
(7) ØQ→S Q(5)(6)
(8) Q∨S Q(7)
2. 证明：(A-B)-C = (A∩~B)∩~C
= A∩(~B∩~C)
= A∩~(B∪C)
= A-(B∪C)
3. 证明：{ØA∨B, ØC→ØB, C→D}蕴涵A→D
(1) A D(附加)
(2) ØA∨B P
(3) B Q(1)(2)
(4) ØC→ØB P
(5) B→C Q(4)
(6) C Q(3)(5)
(7) C→D P
(8) D Q(6)(7)
(9) A→D D(1)(8)
所以 {ØA∨B, ØC→ØB, C→D}蕴涵A→D.
3. 证明：A－(A∩B)
= A∩~(A∩B)
＝A∩(~A∪~B)
＝(A∩~A)∪(A∩~B)
＝Æ∪(A∩~B)
＝(A∩~B)
＝A－B
而 (A∪B)－B
= (A∪B)∩~B
= (A∩~B)∪(B∩~B)
= (A∩~B)∪Æ
= A－B
所以：A－(A∩B) = (A∪B)－B.
离散数学试题（A卷及答案）
一、（10分）某项工作需要派A、B、C和D 4个人中的2个人去完成，按下面3个条件，有几种派法？如何派？
(1)若A去，则C和D中要去1个人；
(2)B和C不能都去；
(3)若C去，则D留下。
解 设A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。则根据题意应有：A®CÅD，Ø(B∧C)，C®ØD必须同时成立。因此
(A®CÅD)∧Ø(B∧C)∧(C®ØD)
Û(ØA∨(C∧Ø D)∨(ØC∧D))∧(ØB∨ØC)∧(ØC∨ØD)
Û(ØA∨(C∧Ø D)∨(ØC∧D))∧((ØB∧ØC)∨(ØB∧ØD)∨ØC∨(ØC∧ØD))
Û(ØA∧ØB∧ØC)∨(ØA∧ØB∧ØD)∨(ØA∧ØC)∨(ØA∧ØC∧ØD)
∨(C∧Ø D∧ØB∧ØC)∨(C∧Ø D∧ØB∧ØD)∨(C∧Ø D∧ØC)∨(C∧Ø D∧ØC∧ØD)
∨(ØC∧D∧ØB∧ØC)∨(ØC∧D∧ØB∧ØD)∨(ØC∧D∧ØC)∨(ØC∧D∧ØC∧ØD)
ÛF∨F∨(ØA∧ØC)∨F∨F∨(C∧Ø D∧ØB)∨F∨F∨(ØC∧D∧ØB)∨F∨(ØC∧D)∨F
Û(ØA∧ØC)∨(ØB∧C∧Ø D)∨(ØC∧D∧ØB)∨(ØC∧D)
Û(ØA∧ØC)∨(ØB∧C∧Ø D)∨(ØC∧D)
ÛT
故有三种派法：B∧D，A∧C，A∧D。
二、（15分）在谓词逻辑中构造下面推理的证明：某学术会议的每个成员都是专家并且是工人，有些成员是青年人，所以，有些成员是青年专家。
解：论域：所有人的集合。
(
)：
是专家；
(
)：
是工人；
(
)：
是青年人；则推理化形式为：
(
(
)∧
(
))，
(
)
(
(
)∧
(
))
下面给出证明：
(1)
(
) P
(2)
(c) T(1)，ES
(3)
(
(
)∧
(
)) P
(4)
( c)∧
( c) T(3)，US
(5)
( c) T(4)，I
(6)
( c)∧
(c) T(2)(5)，I
(7)
(
(
)∧
(
)) T(6) ，EG
三、（10分）设A、B和C是三个集合，则AÌBÞØ(BÌA)。
证明：AÌBÛ"x(x∈A→x∈B)∧$x(x∈B∧xÏA)Û"x(xÏA∨x∈B)∧$x(x∈B∧xÏA)
ÛØ$x(x∈A∧xÏB)∧Ø"x(xÏB∨x∈A)ÞØ$x(x∈A∧xÏB)∨Ø"x(x∈A∨xÏB)
ÛØ($x(x∈A∧xÏB)∧"x(x∈A∨xÏB))ÛØ($x(x∈A∧xÏB)∧"x(x∈B→x∈A))
ÛØ(BÌA)。
四、（15分）设A＝{1，2，3，4，5}，R是A上的二元关系，且R＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>}，求r(R)、s(R)和t(R)。
解 r(R)＝R∪IA＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>}
s(R)＝R∪R－1＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，2>，<4，2>，<4，3>}
R2＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>}
R3＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<5，4>}
R4＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>}＝R2
t(R)＝
Ri＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<2，2>，<5，1>，<5，4>，<5，5>}。
五、（10分）R是非空集合A上的二元关系，若R是对称的，则r(R)和t(R)是对称的。
证明 对任意的x、y∈A，若xr(R)y，则由r(R)＝R∪IA得，xRy或xIAy。因R与IA对称，所以有yRx或yIAx，于是yr(R)x。所以r(R)是对称的。
下证对任意正整数n，Rn对称。
因R对称，则有xR2yÛ$z(xRz∧zRy)Û$z(zRx∧yRz)ÛyR2x，所以R2对称。若
对称，则x
yÛ$z(x
z∧zRy)Û$z(z
x∧yRz)Ûy
x，所以
对称。因此，对任意正整数n，
对称。
对任意的x、y∈A，若xt(R)y，则存在m使得xRmy，于是有yRmx，即有yt(R)x。因此，t(R)是对称的。
六、（10分）若f：A→B是双射，则f－1：B→A是双射。
证明 因为f：A→B是双射，则f－1是B到A的函数。下证f－1是双射。
对任意x∈A，必存在y∈B使f(x)＝y，从而f－1(y)＝x，所以f－1是满射。
对任意的y1、y2∈B，若f－1(y1)＝f－1(y2)＝x，则f(x)＝y1，f(x)＝y2。因为f：A→B是函数，则y1＝y2。所以f－1是单射。
综上可得，f－1：B→A是双射。
七、（10分）设<S，*>是一个半群，如果S是有限集，则必存在a∈S，使得a*a＝a。
证明 因为<S，*>是一个半群，对任意的b∈S，由*的封闭性可知，b2＝b*b∈S，b3＝b2*b∈S，…，bn∈S，…。
因为S是有限集，所以必存在j＞i，使得
＝
。令p＝j－i，则
＝
*
。所以对q≥i，有
＝
*
。
因为p≥1，所以总可找到k≥1，使得kp≥i。对于
∈S，有
＝
*
＝
*(
*
)＝…＝
*
。
令a＝，则a∈S且a*a＝a。
八、（20分）（1）若G是连通的平面图，且G的每个面的次数至少为l(l≥3)，则G的边数m与结点数n有如下关系：
m≤
(n－2)。
证明 设G有r个面，则2m＝
≥lr。由欧拉公式得，n－m＋r＝2。于是， m≤
(n－2)。
（2）设平面图G＝<V，E，F>是自对偶图，则| E|＝2(|V|－1)。
证明 设G*＝<V*，E*>是连通平面图G＝<V，E，F>的对偶图，则G*@ G，于是|F|＝|V*|＝|V|，将其代入欧拉公式|V|－|E|＋|F|＝2得，|E|＝2(|V|－1)。
离散数学试题（B卷及答案）
一、（10分）证明(P∨Q)∧(P®R)∧(Q®S)
S∨R
证明 因为S∨RÛØR®S，所以，即要证(P∨Q)∧(P®R)∧(Q®S)
ØR®S。
(1)ØR 附加前提
(2)P®R P
(3)ØP T(1)(2)，I
(4)P∨Q P
(5)Q T(3)(4)，I
(6)Q®S P
(7)S T(5)(6)，I
(8)ØR®S CP
(9)S∨R T(8)，E
二、（15分）根据推理理论证明：每个考生或者勤奋或者聪明，所有勤奋的人都将有所作为，但并非所有考生都将有所作为，所以，一定有些考生是聪明的。
设P(e)：e是考生，Q(e)：e将有所作为，A(e)：e是勤奋的，B(e)：e是聪明的，个体域：人的集合，则命题可符号化为："x(P(x)®(A(x)∨B(x)))，"x(A(x)®Q(x))，Ø"x(P(x)®Q(x))
$x(P(x)∧B(x))。
(1)Ø"x(P(x)®Q(x)) P
(2)Ø"x(ØP(x)∨Q(x)) T(1)，E
(3)$x(P(x)∧ØQ(x)) T(2)，E
(4)P(a)∧ØQ(a) T(3)，ES
(5)P(a) T(4)，I
(6)ØQ(a) T(4)，I
(7)"x(P(x)®(A(x)∨B(x)) P
(8)P(a)®(A(a)∨B(a)) T(7)，US
(9)A(a)∨B(a) T(8)(5)，I
(10)"x(A(x)®Q(x)) P
(11)A(a)®Q(a) T(10)，US
(12)ØA(a) T(11)(6)，I
(13)B(a) T(12)(9)，I
(14)P(a)∧B(a) T(5)(13)，I
(15)$x(P(x)∧B(x)) T(14)，EG
三、（10分）某班有25名学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球，求不会打这三种球的人数。
解 设A、B、C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则：
|A|＝12，|B|＝6，|C|＝14，|A∩C|＝6，|B∩C|＝5，|A∩B∩C|＝2，|(A∪C)∩B|＝6。
因为|(A∪C)∩B|＝(A∩B)∪(B∩C)|＝|(A∩B)|＋|(B∩C)|－|A∩B∩C|＝|(A∩B)|＋5－2＝6，所以|(A∩B)|＝3。于是|A∪B∪C|＝12＋6＋14－6－5－3＋2＝20，
＝25－20＝5。故，不会打这三种球的共5人。
四、（10分）设A1、A2和A3是全集U的子集，则形如
Ai¢(Ai¢为Ai或
)的集合称为由A1、A2和A3产生的小项。试证由A1、A2和A3所产生的所有非空小项的集合构成全集U的一个划分。
证明 小项共8个，设有r个非空小项s1、s2、…、sr(r≤8)。
对任意的a∈U，则a∈Ai或a∈
，两者必有一个成立，取Ai¢为包含元素a的Ai或
，则a∈
Ai¢，即有a∈
si，于是UÍ
si。又显然有
siÍU，所以U＝
si。
任取两个非空小项sp和sq，若sp≠sq，则必存在某个Ai和
分别出现在sp和sq中，于是sp∩sq＝Æ。
综上可知，{s1，s2，…，sr}是U的一个划分。
五、（15分）设R是A上的二元关系，则：R是传递的ÛR*RÍR。
证明 (5)若R是传递的，则<x，y>∈R*RÞ$z(xRz∧zSy)ÞxRc∧cSy，由R是传递的得xRy，即有<x，y>∈R，所以R*RÍR。
反之，若R*RÍR，则对任意的x、y、z∈A，如果xRz且zRy，则<x，y>∈R*R，于是有<x，y>∈R，即有xRy，所以R是传递的。
六、（15分）若G为连通平面图，则n－m＋r＝2，其中，n、m、r分别为G的结点数、边数和面数。
证明 对G的边数m作归纳法。
当m＝0时，由于G是连通图，所以G为平凡图，此时n＝1，r＝1，结论自然成立。
假设对边数小于m的连通平面图结论成立。下面考虑连通平面图G的边数为m的情况。
设e是G的一条边，从G中删去e后得到的图记为G¢，并设其结点数、边数和面数分别为n¢、m¢和r¢。对e分为下列情况来讨论：
若e为割边，则G¢有两个连通分支G1和G2。Gi的结点数、边数和面数分别为ni、mi和ri。显然n1＋n2＝n¢＝n，m1＋m2＝m¢＝m－1，r1＋r2＝r¢＋1＝r＋1。由归纳假设有n1－m1＋r1＝2，n2－m2＋r2＝2，从而(n1＋n2)－(m1＋m2)＋(r1＋r2)＝4，n－(m－1)＋(r＋1)＝4，即n－m＋r＝2。
若e不为割边，则n¢＝n，m¢＝m－1，r¢＝r－1，由归纳假设有n¢－m¢＋r¢＝2，从而n－(m－1)＋r－1＝2，即n－m＋r＝2。
由数学归纳法知，结论成立。
七、（10分）设函数g：A→B，f：B→C，则：
(1)fog是A到C的函数；
(2)对任意的x∈A，有fog(x)＝f(g(x))。
证明 (1)对任意的x∈A，因为g：A→B是函数，则存在y∈B使<x，y>∈g。对于y∈B，因f：B→C是函数，则存在z∈C使<y，z>∈f。根据复合关系的定义，由<x，y>∈g和<y，z>∈f得<x，z>∈g*f，即<x，z>∈fog。所以Dfog＝A。
对任意的x∈A，若存在y1、y2∈C，使得<x，y1>、<x，y2>∈fog＝g*f，则存在t1使得<x，t1>∈g且<t1， y1>∈f，存在t2使得<x，t2>∈g且<t2，y2>∈f。因为g：A→B是函数，则t1＝t2。又因f：B→C是函数，则y1＝y2。所以A中的每个元素对应C中惟一的元素。
综上可知，fog是A到C的函数。
(2)对任意的x∈A，由g：A→B是函数，有<x，g(x)>∈g且g(x)∈B，又由f：B→C是函数，得<g(x)，f(g(x))>∈f，于是<x，f(g(x))>∈g*f＝fog。又因fog是A到C的函数，则可写为fog(x)＝f(g(x))。
八、（15分）设<H，*>是<G，*>的子群，定义R＝{<a，b>|a、b∈G且a－1*b∈H}，则R是G中的一个等价关系，且[a]R＝aH。
证明 对于任意a∈G，必有a－1∈G使得a－1*a＝e∈H，所以<a，a>∈R。
若<a，b>∈R，则a－1*b∈H。因为H是G的子群，故(a－1*b)－1＝b－1*a∈H。所以<b，a>∈R。
若<a，b>∈R，<b，c>∈R，则a－1*b∈H，b－1*c∈H。因为H是G的子群，所以(a－1*b)*(b－1*c)＝a－1*c∈H，故<a，c>∈R。
综上可得，R是G中的一个等价关系。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-768562.html
对于任意的b∈[a]R，有<a，b>∈R，a－1*b∈H，则存在h∈H使得a－1*b＝h，b＝a*h，于是b∈aH，[a]RÍaH。对任意的b∈aH，存在h∈H使得b＝a*h，a－1*b＝h∈H，<a，b>∈R，故aHÍ[a]R。所以，[a]R＝aH。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-768562.html
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