用分布函数定义的随机变量的独立性的合理性-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了用分布函数定义的随机变量的独立性的合理性。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

随机变量的独立性是这样定义的：

如果对任意 $x, y$ 都有
$P\{X\leq x,Y\leq y\} = P\{X\leq x \}P\{Y\leq y\}$
即
$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$
则称随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立。

事件A与事件B相互独立

我们知道事件相互独立的本质其实是，事件A是否发生对事件B发生的概率无影响，同时，事件B是否发生对事件A发生的概率无影响。也就是 $P (A) = P (A ∣ B)$ 且 $P (B) = P (B ∣ A)$ ，根据条件概率公式：
$\frac{P(A,B)}{P(B)}$
我们可以得到：
$P (A) P (B) = P (A B)$
同样 $P (B) = P (B ∣ A)$ 也能得到 $P (A) P (B) = P (A B)$ 。
反过来，
由
$P (A) P (B) = P (A B)$
能得到：
$\frac{P(AB)}{P(B)} = P(A|B) \\ P(B) = \frac{P(AB)}{P(A)} = P(B|A)$

所以事件的独立性的定义是：

设 $A, B$ 两事件满足等式
$P (A B) = P (A) P (B)$
则称 $A$ 与 $B$ 相互独立。

随机变量X与随机变量Y相互独立

根据事件的独立性，我们自然而然地有随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立的本质是 $X$ 与 $Y$ 的取值相互不影响，用分布函数和条件概率来解释就是：
$P\{X\leq x\}=P\{X\leq x | Y\leq y\}\\ P\{Y\leq y\}=P\{Y\leq y | X\leq x\}$
即：
$P\{X\leq x\}=P\{X\leq x | Y\leq y\}=\frac{P\{X\leq x,Y\leq y\}}{P\{Y\leq y\}}\\ P\{Y\leq y\}=P\{Y\leq y | X\leq x\}=\frac{P\{X\leq x,Y\leq y\}}{P\{X\leq x\}}$

我们就能得到随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立的定义：
$P\{X\leq x, Y\leq y\} = P\{X\leq x\}P\{Y\leq y\}$
用分布函数即：
$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$

随机变量X与Y相互独立以概率分布(离散型)或者概率密度(连续型)形式的充要条件

离散型随机变量 X X X 和 Y Y Y 相互独立的充要条件

对任意的 $i, j = 1, 2, ...$ ， $P\{X=x_i,Y=y_j\}=P\{X=x_i\}P\{Y=y_j\}$ ，即 $p_{ij}=p_{i\cdot}p_{\cdot j}$ .

证明：

$\begin{align*} P\{X= x_i, Y= y_j\} &= P\{X\leq x_i,Y\leq y_j\} - P\{X< x_i,Y\leq y_j\}-P\{X\leq x_i,Y< y_j\}+P\{X< x_i,Y< y_j\}\\ &= P\{X\leq x_i\}P\{Y\leq y_j\} - P\{X< x_i\}P\{Y\leq y_j\}-P\{X\leq x_i\}P\{Y< y_j\}+P\{X< x_i\}P\{Y< y_j\}\\ &= (P\{X\leq x_i\} - P\{X< x_i\})P\{Y\leq y_j\} - (P\{X\leq x_i\}-P\{X< x_i\})P\{Y< y_j\}\\ &= P\{X= x_i\}P\{Y\leq y_j\}-P\{X= x_i\}P\{Y< y_j\} \\ &= P\{X= x_i\}(P\{Y\leq y_j\}-P\{Y< y_j\})\\ &= P\{X=x_i\}P\{Y=y_j\} \end{align*}$

连续型随机变量 X X X 和 Y Y Y 相互独立的充要条件

对任意的 $x, y$ ， $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ .
$\begin{align*} F(x,y)&= \int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf(x,y)dxdy\\ F_X(x)F_Y(y) &= \int_{-\infty}^xf_X(x)dx\int_{-\infty}^yf_Y(y)dy\\ &= \int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf_X(x)f_Y(y)dxdy\\ \end{align*}$
根据定义：
$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$
即：
$\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf(x,y)dxdy=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf_X(x)f_Y(y)dxdy$
可推出：
$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$