day44代码训练|动态规划part06

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完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是,每种物品有无限件

1. dp数组的含义

dp[i][j] 0-i物品,重量为j的容量时,最大的价值

2. 递推公式

dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-weight[i]]+value[i]);

两种状态,不用物品i的话,直接是用dp[i-1][j]

选用物品的话,为了重复使用物品i,其实是dp[i][j-weight[i]]+value[i],因为对dp[i][...]都是仍有机会再次使用物品i得

3.初始化dp[...][0]=0 由于重量为0,不可能有价值

dp[0][...] dp[0][j] = dp[0][j-wi]+vi;

4. 遍历顺序

物品和背包在外循环都可以(因为是二维),对背包空间需要是正向遍历,因为需要同行的前面的数据

压缩为1维dp:

把二维dp压缩为一行滚动更新//把dp[i-1]拷贝到dp[i]上

1. dp数组的含义

dp[j]重量为j的容量时,最大的价值

2. 递推公式

dp[j] = max([j],dp[j-weight[i]]+value[i]);

两种状态,不用物品i的话,直接是用dp[i-1][j]

3.初始化

dp[0]=0;(背包没有任何空间)

其他也初始化为0(非负的最小值),不会影响循环中的更新(需要用max,如果初始值太大,会影响递推公式)

4. 遍历顺序

根据递推公式:必须要正向遍历背包,因为在二维的角度看,会用到同一行,之前的数据

压缩来看:当前的数据更新 只需要dp[j-wi]+vi <--> dp[i][j-wi]+vi(由于正向遍历,在遍历到当前位置的时候,已经在一维dp数组中在当前位置的前方《0,j-1》全部更新了dp[i]层的数据,而当前j位置及以后仍然是dp[i-1]层数据),和dp[j] <->dp[i-1][j](其实就是上一层遍历储存在dp[i-1]层的数据)

而背包与物品的循环内外层关系并不重要了

对于01背包问题

如果倒序遍历背包,然后背包循环还在外面的话,dp[j-w]还在初始化状态时,就把dp[j]从0层到i层更新完了,(最终只会装入一个物品,当前容量下能装下的某一个物品且其价值最大)

所以必须先遍历物品,再对每个物品进行背包空间上的倒序遍历,这样在对第i层的dp[j]进行递推的时候,dp[j-wi]并不是初始化的值,而是已经计算过第i-1层的值了

对于完全背包问题

如果是正序的话,不论先遍历背包还是先遍历物品

在递推更新dp[j] 的时候需要的

dp[i] = max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]); dp[j]对应第i-1层 dp[j-wi]对应第N层(N 为物品个数),是提前算好的数据,但是由于是取最值,所以第N层的dp[j-wi]也是可以的,只要最后是整体的最大值就行了。与顺序无关。所以及时使用之后的数据也不影响最后的结果

举例:

重量         价值
物品0 1 15
物品1 3 60
物品2 4 30

先物品再背包

背包体积 0 1 2 3 4
物品0 0 15 30 45 60
物品1 0 15 30 60 75
物品2 0 15 30 60 75

先背包再物品

背包体积 0 1 2 3 4
物品0 0 15 30 45 75
物品1 0 15 30 60
物品2 0 15 30 60

其实遍历下来跟二维dp还是有所不同因为在更新dp[j=4] (dp[i=0][j=4])的时候本来应该应用dp[i=0][j=3]+v1来跟0比较大小,但是先背包再物品的遍历顺序让当时的dp[j=3]其实是dp[i=2][j=3],所以dp[j=4]在i=0的时候已经是75了,但是并不影响,因为我们要取的是最大值,什么顺序,什么时候最大,并不影响最后结果,所以可以改变循环顺序

但是后面一题跟顺序有关,就不能随意改变循环顺序了

518.零钱兑换II

给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。

由于是求组合数,所以跟顺序没有关系

例如示例:

5 = 2 + 2 + 1

5 = 2 + 1 + 2

这是一种组合,都是 2 2 1。

1. dp 数组及含义

2维:dp[i][j] 的定义如下:

若只使用前 i 个物品(可以重复使用),当背包容量为 j 时,有 dp[i][j] 种组合方法可以装满背包

1维:dp[j]:凑成总金额j的货币组合数为dp[j]

2. 递推公式

2维

如果你不把这第 i 个物品装入背包,也就是说你不使用 coins[i-1] 这个面值的硬币,那么凑出面额 j 的方法数 dp[i][j] 应该等于 dp[i-1][j],继承之前的结果。

如果你把这第 i 个物品装入了背包,也就是说你使用 coins[i-1] 这个面值的硬币,那么 dp[i][j] 应该等于 dp[i][j-coins[i-1]]

dp[i][j] = dp[i - 1][j]  + dp[i][j-coins[i-1]];

1维:

dp[j] += dp[j - nums[i]];

3. 初始化

2维:base case 为 dp[0][..] = 0, dp[..][0] = 1。i = 0 代表不使用任何硬币面值,这种情况下显然无法凑出任何金额;j = 0 代表需要凑出的目标金额为 0,那么什么都不做就是唯一的一种凑法。

1维:dp[..][0] = 1由此可得之:

dp[j=0]=1; (目标为0的时候什么都不放就是一种方法)

由2维的 dp[0][..] = 0也可以看出,其他dp[j]初始化为0 对1维递推公式来说也是,初始化为0才不会影响累加公式的结果

4. 遍历顺序:

2维:背包正序遍历即可

两个循环内外部影响

1维:

先物品再背包,公式计算时是:dp[j]<-> dp[i][j]=dp[j]<->dp[i-1][j]+ dp[j - nums[i]]<->dp[i][j-nums[i]]

可以跟2维公式对应上

如果先循环背包再循环物品,从某点开始,dp[j-nums[i]]本应该对应2维的dp[i][j-nums[i]]却对应的是dp[N][j-nums[i]],因为递推公式是累加,之后的结果都会相应跟二维dp数组发生越来越大的结果

dp[j]<-> dp[i][j]=dp[j]<->无法对应+ dp[j - nums[i]]<->无法对应

不同遍历方式一维dp数组打印:

例子:

  • 输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]

先物品再背包

0 1 2 3 4 5
c1 1 1 1 1 1 1
c2 1 1 2 2 3 3
c5 1 1 2 2 3 4

day44代码训练|动态规划part06,动态规划,算法

先背包再物品

0 1 2 3 4 5
c1 1 1 1 2 3 5
c2 1 1 2 3 5 8
c5 1 1 2 3 5 9

day44代码训练|动态规划part06,动态规划,算法

另一种理解方式:来源代码随想录

day44代码训练|动态规划part06,动态规划,算法

377. 组合总和 Ⅳ

其实本体本质不是一个完全背包问题,可以直接立即为:

每次能走1-n步的爬楼梯有多少种方法的问题

理解维爬楼梯问题后,可以简单直观的看出,我们必须先遍历到了第几层楼梯

再循环遍历这次爬几阶楼梯,这样每次dp[j]都讨论了会选择之前不同爬楼梯阶数的可能性dp[j]+=dp[j-nums[i]],所以其实把排列/顺序已经考虑在了其中

class Solution {
    public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
        int[] dp = new int[target+1];
        dp[0]=1;
        for(int j=0;j<=target;j++){
            for(int i=0;i<nums.length;i++){
                if(j>=nums[i])dp[j]+=dp[j-nums[i]];
            }
        }
        return dp[target];
    }
}

如果要用二维来理解:如下:

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