矩阵乘法：
定义
***当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵相乘才有意义。
①矩阵相乘：左行右列
②相乘有效：左列右行
矩阵的运算规律：
满足：
①结合律：(AB)C==A(BC)
②分配律: (A+B)C==AC+BC C(A+B)==CA+CB
③数量矩阵同任意矩阵可交换：AE=EA (λE)A=λA=A(λE)
不满足：
①交换律 AB!=BA
②消去律 BA=BC ---->A!=C
（以上例子代表一般矩阵）
错误案例：
AB=0------------>A||B=0
BA-BC=0------>B(A-C)=0------>A=C ||A-C=0 ||B=0
因为非零矩阵相乘也会得零，因此以上说法通通错误！
矩阵幂的运算规律
满足：Aⁿ ⁺ ⁱ＝A ⁿ A ⁱ (A ⁿ) ⁱ =A ⁿ ⁱ
不满足：(AB) ⁿ =AⁿBⁿ
矩阵转置
定义：略
运算规律：
①
②
③
④
用C表示转置后的AB.
1.矩阵相乘取左行右列.即AB由(Ai,Bj)组成.转置后C为(Bj,Ai)
2.BA由(Bi,Aj)组成(左行i右列j)，可知(BjAi)(左列i)恰恰是B的转置*A的转置得来的。
特殊矩阵
①对称矩阵： Aᴛ = A
②反对称矩阵： Aᴛ = -A
推论：
①:若AAᴛ = O,则A=O
推导过程：矩阵相乘左行右列--AAᴛ=(AiAi)=O，所以A=O
②：对称矩阵元素以主对角线为对称轴对应相等
③：反对称矩阵主对角线上的元素必为0
推导：设主对角线上所有元素为a. a=-a---->a=0;
矩阵的逆
定义
若AB相乘有效，AB=BA=E,则A可逆，B为A的逆矩阵.(充要条件)
推论
①如果矩阵A可逆，那么它的逆矩阵唯一
证明：
假设A的逆矩阵不唯一，为B1,B2。可以得出：
1.AB1=B1A=E-------->B1=EB1
AB2=B2A=E-------->B2=EB2
E=B1A=B2A
2.B1=EB1=(B2A)B1=B2(AB1)=B2E=B2
B2=EB2=(B1A)B2=B1(AB2)=B1E=B1
所以B1=B2,假设不成立。
②若A可逆，则其逆矩阵B也可逆.且B的逆矩阵为A（AB互为逆阵）即可逆矩阵的逆阵的逆阵为矩阵本身。
(若矩阵 A 存在逆阵，则用 A^ {-1}表示，B=A^ {-1})
推导：1.AB=BA=E------>AB可交换
2.所以 BA=AB=E----->B可逆
③
k为数，k≠0；
④若A可逆，B可逆， 则AB可逆（有限个可逆矩阵的乘积仍然可逆）。且满足：
推导：1.由可逆的充要条件我们可知，要证明AB可逆，只要找到一个C，使
(AB)C=C(AB)=E,我们就可以说AB可逆.
2.因为(AB)(B⁻¹ A⁻¹ )=A(BB⁻¹ )A⁻¹=AEA⁻¹=E
同时(B⁻¹ A⁻¹ )(AB)=B⁻¹(A⁻¹ A)B=B⁻¹EB=E
所以AB可逆.且AB的逆为B⁻¹A⁻¹.
⑤若A可逆，则A⊤也可逆。且(A⊤)⁻¹=(A⁻¹)⊤ (转置逆=逆转置)
推导：1.同上一条论证一样，我们需要找到一个C的存在证明AT可逆.
2.
因此A⊤也可逆。且(A⊤)⁻¹=(A⁻¹)⊤
⑥A可逆时，AB=AC,则B=C
推导：
⑦对角阵的逆是原对角元素取倒数
图源：猫咪钓鱼
⑧若A,B可逆，且A+B可逆，那么A⁻¹+B⁻¹也可逆
推导：
分块矩阵
分块对角矩阵
定义：
略
推导：
若分块对角矩阵A里各Ai都是可逆阵，那么A也可逆。
矩阵初等变换
三种初等变换：
略
初等变换的逆变换：
略
矩阵等价关系
定义：
矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价，记作A~B
性质
①反身性:A~A
②对称性：若A~B，则B~A
③传递性：若A~B,B~C，则A~C
初等变换结果
①行阶梯矩形
②行最简矩阵
③标准型
初等矩阵
定义：
由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵成为初等矩阵
三种初等矩阵：
三种初等变换形成三种初等矩阵：
①E( i, j )
②E(i ( k)) 把i行乘k倍
③E(i, j( k)) 行变换时：把 j 行的 k 倍加到 i 行
列变换时：把 i 列的 k 倍加到 j 列
定理
① 对A进行行变换，相当于对A左乘相应的初等矩阵
对A进行列变换，相当于对A右乘相应的初等矩阵
初等变换对应初等矩阵，由初等变换可逆，可知初等矩阵可逆。初等变换的逆变换对应着初等矩阵的逆矩阵.三种，略。
②方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P₁，P₂.....Pl，使A=P₁，P₂.....Pl
证明：
充分性（A=P₁，P₂.....Pl.则A可逆）：
1.A=P₁，P₂.....Pl.
2.根据初等矩阵可逆，且有限个可逆矩阵的乘积仍然可逆.所以P₁，P₂.....Pl.即A可逆
必要性（A可逆，则A=P₁，P₂.....Pl.）：
1.A经过一系列初等变换(行变换和列变换)可以化为标准型.A~F
同理F~A，标准型F经过一系列初等变换(行变换和列变换)可以化为A
2.我们已经推出F标准型可逆.所以F满足可逆的定义：存在一个C，使得CF=FC=E.
由于F存在任何一行/列全为零，就不能满足FC=E，因此F只能使单位矩阵。即F=E
3.由F=E可知：
总结下必要性的证明过程：
1.A~F---->F~A---->F可逆
2.F可逆---->F=E
3.F=E----->A=P₁，P₂.....Pl.
在推导过程里衍生了其它推论
①方阵A可逆的充要条件使A行等价于E.
②mxn阶矩阵A与B等价的充要条件是存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使PAQ=B.
③对于方阵A和矩阵B，若（A,B）~(行)（E,X）.则A可逆，且X=A⁻¹B文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-771503.html
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