高等工程数学 —— 第五章（2）非线性规划的最优条件

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高等工程数学 —— 第五章（2）非线性规划的最优条件

无约束规划问题的最优性条件

简单说就是先用一阶必要条件求驻点，再用二阶充分条件来验证。

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其实就是一阶导数为0然后解未知量的值

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这里的Hesse矩阵如下：

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再简单说说判断矩阵是否正定的两种方法：

求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。
计算A的各阶顺序主子式。若A的各阶顺序主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。

例如：

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可知矩阵 $A$ 是正定矩阵

用一道例题就能很容易的理解：

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可见这里我们用一阶必要条件求出来了两个驻点

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这里我们用二阶充分条件来判断出第一个驻点代入Hesse矩阵不正定，所以可知第二个驻点是严格局部极小值点

带约束规划问题的最优性条件

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KKT

简单讲就是先用KKT必要条件求值，然后再用二阶充分条件来验证。

KKT必要条件
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注意(5)式是对每一个 $x$ 来就梯度，即求一阶导数

二阶充分条件
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这里先求 $d$ 然后判断(10)式是否满足大于0

例1：

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我们用KKT必要条件列出的式子来求出未知数的值，接下来用二阶充分条件来验证

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这里是用 $v_j > 0$ 那个式子来求 $d$ 的

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可见这里求得的值大于0，因此我们求得的点就是局部极小值点

例2：
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