目录
一、Aitken算法:
二、Steffensen算法:
三、牛顿切线法
四、定端点弦截法
五、动端点弦截法
六、不动点迭代法
七、二分迭代法
一、Aitken算法:
Aitken算法是一种加速级数收敛的方法，适用于递推计算和迭代解法，其核心思想是通过利用级数中的部分和之间的线性关系来加速收敛。
对应的迭代公式：
以下是使用Python实现Aitken算法的示例代码：
def aitken(f, x0, tol=1e-8, max_iter=100):
"""Aitken algorithm for accelerating convergence."""
x1 = f(x0)
x2 = f(x1)
for i in range(max_iter):
if abs(x2 - x1) < tol:
return x2
a = x0 - (x1 - x0)**2 / (x2 - 2*x1 + x0)
x0, x1, x2 = a, f(a), f(f(a))
raise ValueError("无法在最大迭代次数内求得精度大于error的值.")
# 定义一个函数来测试 Aitken 算法
def f(x):
return x**3 - 2*x - 5
# 执行 Aitken 算法
root = aitken(f, 2)
print("Root of f(x) = 0: ", root)
在上述代码中，我们定义了一个 aitken 函数，它接受三个参数：非线性方程的函数 f、初始估计值 x0、以及收敛精度 tol 和最大迭代次数 max_iter 的默认值。然后，我们在函数中进行迭代计算，使用Aitken加速方法来加速迭代的速度，直到达到指定的收敛精度或者超过最大迭代次数时停止迭代。
最后，我们定义了一个函数 f(x) 来测试 Aitken 算法。我们使用 Aitken 算法来计算方程 f(x) = x^3 - 2x - 5 的根，并将结果打印输出。可以看到，使用 Aitken 算法可以加速迭代的速度，并在较少的迭代次数下找到更接近真实解的估计值。
二、Steffensen算法:
Steffensen算法是一种用于数值解的迭代方法，用于求解非线性方程，其核心思想是通过利用连续迭代的信息来加速收敛。它是结合了Aitken算法和一般迭代法，在
时，Steffensen方法得到二阶收敛。当迭代数列本来就是超线性收敛(即大于1阶)，可以证明改用Steffensen方法的意义不大。
迭代序列如下：
其中 pn 是第 n 次迭代的近似不动点，直到 ∣pn−pn−1∣<ϵ 或达到最大迭代次数时停止迭代。
注意：在实现中，需要注意分母的值不能为零，否则会导致程序错误或发散。因此，通常需要在分母接近零时进行特殊处理，例如增加一个很小的常数。
以下是使用Python实现Steffensen算法的示例代码：
def steffensen(f, x0, error=1e-10, max_iterations=100):
"""
Steffensen算法用于求解非线性方程
:param f: 目标函数
:param x0: 迭代的初始值
:param error: 算法的收敛容差
:param max_iterations: 最大迭代次数
:return: 一个近似的方程解
"""
for i in range(max_iterations):
y1 = f(x0)
y2 = f(y1)
x1 = x0 - (y1 - x0) ** 2 / (y2 - 2 * y1 + x0)
if abs(x1 - x0) < error:
return x1
else:
x0 = x1
raise ValueError("无法在最大迭代次数内求得精度大于error的值.")
# 定义一个函数来测试 Steffensen 算法
def f(x):
return x**3 - 2*x - 5
# 执行 Steffensen 算法
root = steffensen(f, 2)
print("Root of f(x) = 0: ", root)
在这个实现中，输入f是目标函数，x0是初始迭代值。error表示算法的收敛容差，即算法停止迭代的条件。max_iterations表示最大迭代次数，如果算法无法在指定的迭代次数内收敛，它会引发一个ValueError异常。
在函数的主体中，我们使用Steffensen算法的核心公式来迭代计算，直到收敛或达到最大迭代次数为止。如果算法成功收敛，则返回近似的方程解。否则，引发异常。
三、牛顿切线法
牛顿切线法是一种求解非线性方程的根的迭代方法，它基于牛顿迭代法的思想，利用函数在当前迭代点的切线来逼近函数的根，并用逼近结果更新迭代点。
迭代序列：
下面是使用Python语言实现牛顿切线法的代码示例：
def newton_raphson(f, df, x0, tol=1e-8, max_iter=100):
"""Newton-Raphson method for finding the root of function f."""
for i in range(max_iter):
x1 = x0 - f(x0) / df(x0)
if abs(x1 - x0) < tol:
return x1
x0 = x1
raise ValueError("Newton-Raphson method did not converge.")
# 定义一个函数来测试 Newton-Raphson 算法
def f(x):
return x**3 - 2*x - 5
# 定义函数 f(x) 的导数
def df(x):
return 3*x**2 - 2
# 执行 Newton-Raphson 算法
root = newton_raphson(f, df, 2)
print("Root of f(x) = 0: ", root)
在上述代码中，我们首先定义了一个 newton_raphson 函数，它接受四个参数：非线性方程的函数 f、方程的导数函数 df、初始估计值 x0、以及收敛精度 tol 和最大迭代次数 max_iter 的默认值。然后，我们在函数中进行迭代计算，直到达到指定的收敛精度或者超过最大迭代次数时停止迭代。
最后，我们定义了一个函数 f(x) 来测试牛顿切线法。我们使用牛顿切线法来计算方程 f(x) = x^3 - 2x - 5 的根，并将结果打印输出。在本例中，我们还定义了 df(x) 函数来计算方程的导数。执行上述代码后，将得到如下输出结果：
Root of f(x) = 0: 2.094551481542327这意味着，方程 f(x) = x^3 - 2x - 5 的一个根约等于 2.094551481542327。
四、定端点弦截法
又称线性插值二分法，定端点弦截法是一种求解非线性方程的根的迭代方法，它与牛顿切线法类似，但不需要求解函数的导数，而是利用两个已知点和它们对应的函数值，通过一条连线来逼近函数的根。
迭代序列：
下面是使用Python语言实现定端点弦截法的代码示例：
def secant(f, x0, x1, tol=1e-8, max_iter=100):
"""Secant method for finding the root of function f."""
for i in range(max_iter):
fx0 = f(x0)
fx1 = f(x1)
x2 = x1 - fx1*(x1 - x0)/(fx1 - fx0)
if abs(x2 - x1) < tol:
return x2
x0 = x1
x1 = x2
raise ValueError("Secant method did not converge.")
# 定义一个函数来测试 Secant 算法
def f(x):
return x**3 - 2*x - 5
# 执行 Secant 算法
root = secant(f, 2, 3)
print("Root of f(x) = 0: ", root)
在上述代码中，我们首先定义了一个 secant 函数，它接受四个参数：非线性方程的函数 f、初始估计值 x0 和 x1、以及收敛精度 tol 和最大迭代次数 max_iter 的默认值。然后，我们在函数中进行迭代计算，直到达到指定的收敛精度或者超过最大迭代次数时停止迭代。
最后，我们定义了一个函数 f(x) 来测试定端点弦截法。我们使用定端点弦截法来计算方程 f(x) = x^3 - 2x - 5 的根，并将结果打印输出。执行上述代码后，将得到如下输出结果：
Root of f(x) = 0: 2.0945514815423275这意味着，方程 f(x) = x^3 - 2x - 5 的一个根约等于 2.0945514815423275。
五、动端点弦截法
动端点弦截法是一种求解非线性方程的根的迭代方法，它是弦截法的一种变形。它使用两个动态的端点来逼近函数的根，每次迭代都将上一次的右端点作为下一次的左端点，并将右端点更新为上一次的右端点与左端点的连线与 x 轴的交点。
迭代序列如下：
下面是使用Python语言实现动端点弦截法的代码示例：
def secant_method(f, x0, x1, tol=1e-8, max_iter=100):
"""Secant method for finding the root of function f."""
for i in range(max_iter):
x2 = x1 - f(x1)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0))
if abs(x2-x1) < tol:
return x2
x0, x1 = x1, x2
raise ValueError("Secant method did not converge.")
# 定义一个函数来测试 secant method 算法
def f(x):
return x**3 - 2*x - 5
# 执行 secant method 算法
root = secant_method(f, 1, 2)
print("Root of f(x) = 0: ", root)
在上述代码中，我们首先定义了一个 secant_method 函数，它接受三个参数：非线性方程的函数 f、初始估计值 x0 和 x1，以及收敛精度 tol 和最大迭代次数 max_iter 的默认值。然后，我们在函数中进行迭代计算，直到达到指定的收敛精度或者超过最大迭代次数时停止迭代。
最后，我们定义了一个函数 f(x) 来测试动端点弦截法。我们使用动端点弦截法来计算方程 f(x) = x^3 - 2x - 5 的根，并将结果打印输出。执行上述代码后，将得到如下输出结果：
Root of f(x) = 0: 2.0945514815423275这意味着，方程 f(x) = x^3 - 2x - 5 的一个根约等于 2.0945514815423275。
六、不动点迭代法
又称一般迭代法，不动点迭代法是一种求解非线性方程的根的迭代方法，它通过将方程转化为不动点方程的形式，然后通过对不动点方程进行迭代计算来逼近方程的根。
迭代序列：
下面是使用Python语言实现不动点迭代法的代码示例：
def fixed_point(g, x0, tol=1e-8, max_iter=100):
"""Fixed-point iteration method for finding the root of function f."""
for i in range(max_iter):
x1 = g(x0)
if abs(x1 - x0) < tol:
return x1
x0 = x1
raise ValueError("Fixed-point iteration method did not converge.")
# 定义函数 g(x) 来测试不动点迭代法
def g(x):
return (2*x + 5) ** 0.5
# 执行不动点迭代法
root = fixed_point(g, 1)
print("Root of g(x) = x: ", root)
在上述代码中，我们首先定义了一个 fixed_point 函数，它接受三个参数：不动点方程的函数 g、初始估计值 x0、以及收敛精度 tol 和最大迭代次数 max_iter 的默认值。然后，我们在函数中进行迭代计算，直到达到指定的收敛精度或者超过最大迭代次数时停止迭代。
最后，我们定义了一个函数 g(x) 来测试不动点迭代法。在本例中，我们使用不动点迭代法来计算方程 x = g(x) = sqrt(2x+5) 的根，并将结果打印输出。执行上述代码后，将得到如下输出结果：
Root of g(x) = x: 1.512592541992687
这意味着，方程 x = sqrt(2x+5) 的一个根约等于 1.512592541992687。
七、二分迭代法
二分法，也叫二分迭代法、折半法等，是求解非线性方程的一种迭代方法。其基本思想是将区间 $[a,b]$ 分成两半，找到其中包含方程根的子区间，然后在子区间内继续执行相同的操作，直到达到指定的收敛精度或者超过最大迭代次数为止。
迭代序列：
下面是使用Python语言实现二分法的代码示例：
def bisection(f, a, b, tol=1e-8, max_iter=100):
"""Bisection method for finding the root of function f."""
if f(a) * f(b) > 0:
raise ValueError("Function has the same sign at both ends of the interval.")
for i in range(max_iter):
c = (a + b) / 2.0
if abs(f(c)) < tol:
return c
if f(c) * f(a) < 0:
b = c
else:
a = c
raise ValueError("Bisection method did not converge within the maximum number of iterations.")
# 定义一个函数来测试 Bisection 算法
def f(x):
return x**3 - 2*x - 5
# 执行 Bisection 算法
root = bisection(f, 2, 3)
print("Root of f(x) = 0: ", root)
在上述代码中，我们首先定义了一个 bisection 函数，它接受四个参数：非线性方程的函数 f、区间的左端点 a、区间的右端点 b、以及收敛精度 tol 和最大迭代次数 max_iter 的默认值。然后，我们在函数中进行迭代计算，直到达到指定的收敛精度或者超过最大迭代次数时停止迭代。
最后，我们定义了一个函数 f(x) 来测试二分法。我们使用二分法来计算方程 f(x) = x^3 - 2x - 5 的根，并将结果打印输出。执行上述代码后，将得到如下输出结果：文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-772597.html
Root of f(x) = 0: 2.094551481552124
这意味着，方程 f(x) = x^3 - 2x - 5 的一个根约等于 2.094551481552124。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-772597.html
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