【动态规划】求最长递增子序列问题

问题描述

最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence，LIS）

• 子序列：对于任意序列s，它的子序列是通过删除其中零个或多个元素得到的另⼀个序列
  注：剩余元素的相对顺序保持不变
  

给定n个整数组成的序列 $s[\mathrm{1...}n]$，求最长递增子序列LIS（的长度）

递推关系

建立递推关系的思路

假设能够求出 $s[\mathrm{1...}k-1]$ 的 LIS，考虑能否由此推出 $s[\mathrm{1...}k]$ 的 LIS

• 如果仅知道长度
  • 无法判断 $s[k]$ 能否让LIS变长
• 如果不仅知道长度，还知道具体序列 L
  • $s[k]$ 能让 L 变长，那问题就解决了
  • 也许 L 就是 $s[\mathrm{1...}k]$ 的LIS
  • 也许存在 $s[\mathrm{1...}k]$ 的另⼀个LIS：L‘， $s[k]$ 能让L’变长
  • 可能需要记住 $s[\mathrm{1...}k-1]$ 的所有LIS

原始子问题: 令 $L(k)$ 表示 $s[\mathrm{1...}k]$ 的LIS的长度，原问题即求解$L(n)$

• O(n)个子问题，但不容易建立递归关系

约束条件:以 s [ k ] s[k] s[k] 结尾

• 令 $L(k)$ 表示 $s[\mathrm{1...}n]$ 中以 $s[k]$ 结尾的LIS的长度
• 原问题即为求解 ${\max }_{1\le k\le n}L(k)$
• 基本情况: 如果 $k=1$，那么 $L(k)=1$
• 归纳步骤
  • L k = max ⁡ { 1 , max ⁡ 1 ≤ i ≤ k − 1 { L ( i ) + 1 ∣ s [ k ] > s [ i ] } } L_k = \max \{1, \max_{1\le i \le k-1} \{ L(i) +1 | s[k] > s[i] \}\} Lk​=max{1,max1≤i≤k−1​{L(i)+1∣s[k]>s[i]}}，其中，$\max \oslash$的值定义为0

• 此时的递推关系：

L ( k ) = { 1 i f k = 1 max ⁡ { 1 , max ⁡ 1 ≤ i ≤ k − 1 { L ( i ) + 1 ∣ s [ k ] > s [ i ] } } i f k > 1 L(k) = \begin{cases} 1 &if\quad k=1\\ \max \{1, \max_{1\le i \le k-1} \{ L(i) +1 | s[k] > s[i] \}\} &if \quad k>1 \end{cases} L(k)={1max{1,max1≤i≤k−1​{L(i)+1∣s[k]>s[i]}}​ifk=1ifk>1​

• $O(n)$ 个子问题，每个子问题复杂度为 $O(k)$。时间复杂度为 $O(n^2)$

约束条件:以 s [ k ] s[k] s[k] 开头

• 令 $L(k)$ 表示 $s[\mathrm{1...}n]$ 中以 $s[k]$ 开头的LIS的长度
• 原问题即为求解 ${\max }_{1\le k\le n}L(k)$
• 基本情况: 如果 $k=n$，那么 $L(k)=1$

• 此时的递推关系：

L ( k ) = { 1 i f k = n max ⁡ { 1 , max ⁡ k + 1 ≤ i ≤ n { L ( i ) + 1 ∣ s [ k ] < s [ i ] } } i f k < n L(k) = \begin{cases} 1 &if\quad k=n\\ \max \{1, \max_{k+1\le i \le n} \{ L(i) +1 | s[k] < s[i] \}\} &if \quad k<n \end{cases} L(k)={1max{1,maxk+1≤i≤n​{L(i)+1∣s[k]<s[i]}}​ifk=nifk<n​

• $O(n)$ 个子问题，每个子问题复杂度为 $O(k)$。时间复杂度为 $O(n^2)$

约束条件:增加子问题参数（前缀）

• 令 $L(i,j)$ 表示 $s[j...n]$ 中每个元素都大于 $s[i]$ 的LIS的长度
• 令 $s[0]=-\infty$ ，原问题即求解 $L(0,1)$
• 基本情况: 如果 $j>n$ ，那么 $L(i,j)=0$

• 归纳步骤
  • 如果 $s[i]>s[j]$，$L(i,j)=L(i,j+1)$
  • 否则 L ( i , j ) = max ⁡ { L ( i , j + 1 ) , 1 + L ( j , j + 1 ) } L(i,j) = \max \{ L(i,j+ 1),1 + L(j,j+ 1)\} L(i,j)=max{L(i,j+1),1+L(j,j+1)}
• $O(n^2)$个子问题，每个子问题求解复杂度为 $O(1)$，时间复杂度: O(n2)； 空间复杂度: O(n2)
• 此时的递推关系：
  $$L(i,j)=\{\begin{array}{ll}0& ifj>n\\ L(i,j+1)& ifs[i]\ge s[j]\\ \max \{\begin{array}{l}L(i,j+1)\\ 1+L(j,j+1)\end{array}& otherwise\end{array}$$

约束条件:增加子问题参数（后缀）

• 令 $L(i,j)$ 表示 $s[\mathrm{1...}j]$ 中每个元素都小于 $s[i]$ 的LIS的长度
• 令 $s[n+1]=\infty$ ，原问题即求解 $L(n+1,n)$
• 基本情况: 如果 $j=0$ ，那么 $L(i,j)=0$

• 归纳步骤

  • 如果 $s[i]\le s[j]$，$L(i,j)=L(i,j-1)$
  • 否则 L ( i , j ) = max ⁡ { L ( i , j − 1 ) , 1 + L ( j , j − 1 ) } L(i,j) = \max \{ L(i,j- 1),1 + L(j,j- 1)\} L(i,j)=max{L(i,j−1),1+L(j,j−1)}

• 此时的递推关系：
  $$L(i,j)=\{\begin{array}{ll}0& ifj=0\\ L(i,j-1)& ifs[i]\le s[j]\\ \max \{\begin{array}{l}L(i,j-1)\\ 1+L(j,j-1)\end{array}& otherwise\end{array}$$

约束条件:LIS长度为k且末尾元素最小

• 对于长度为 $k$ 的递增子序列，只需记住末尾元素最小的那个

• 本质是寻找上限最高（可拓展性最强）的那个子序列

• 令 $L(k)$ 表示 $s[\mathrm{1...}n]$ 中长度为 $k$ 且末尾元素最小的递增子序列，且 $L(k).last$ 表示该序列中最后那个元素

• 引理: $L(1).last<L(2).last<...<L(k).last$

  • 假设 $x\ge y$，而 $y\ge z$，所以 $x\ge z$
  • 那么灰色元素构成一个长度为 $k$ 且末尾元素最小的递增子序列，矛盾
    

• 归纳假设: 对长度小于 $n$ 的序列，可以计算其所有的 $L(k)$，并有序存储

• 基本情况: 长度为1的序列，有 $L[1]\leftarrow s[1]$

• 如何基于归纳假设求解 $s[\mathrm{1..}n]$ 的所有的 $L(k)$

  • 在 $L(k).last$ 构成的有序数组中查找插入位置 $k^{\prime }$，使得 $s[n]$ 加入后仍然有序
  • 如果 $k^{\prime }=k+1$，那么 $L(k+1)+L(k)+1$ 且 $L(k+1).last\leftarrow s[n]$
  • 否则 $L(k^{\prime }).last\leftarrow s[n]$，但 $L(k^{\prime })$ 的值不变

• 时间复杂度: $O(logn)$

运行实例

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <set>
using namespace std;

ostream& operator<<(ostream& os, const vector<int>& v) {
    for (auto e : v)
        os << e << ' ';
    return os;
}

int lis_dp1(const vector<int>& s, int n) {
    vector<int> dp(n + 1, 1); // 初始化dp数组，dp[i]表示以s[i]结尾的LIS的长度

    for (int k = 2; k <= n; ++k) {
        for (int i = 1; i < k; ++i) {
            if (s[k] > s[i]) {
                dp[k] = max(dp[k], dp[i] + 1);
            }
        }
    }

    return *max_element(dp.begin(), dp.end()); // 返回dp数组中的最大值作为整个序列的最长递增子序列的长度
}

int lis_dp2(const vector<int>& s, int n) {
    vector<vector<int>> dp(n + 2, vector<int>(n + 2, -1)); // 初始化dp数组，dp[i][j]表示L(i,j)

    for (int i = 0; i <= n + 1; ++i)
        dp[i][n + 1] = 0; // 基本情况：当 j > n 时，L(i,j) = 0

    for (int j = n; j >= 1; --j) {
        for (int i = 0; i < j; ++i) {
            if (s[i] >= s[j]) {
                dp[i][j] = dp[i][j + 1]; // 如果s[i] >= s[j]，则L(i,j) = L(i,j+1)
            }
            else {
                dp[i][j] = max(dp[i][j + 1], 1 + dp[j][j + 1]); // 否则L(i,j) = max{L(i,j+1), 1+L(j,j+1)}
            }
        }
    }

    return dp[0][1]; // 返回L(0,1)作为整个序列的最长递增子序列的长度
}

int lis_dp3(const vector<int>& s, int n) {
    
    if (n == 0) return 0;

    set<int> L;

    L.insert(s[1]);

    for (int i = 2; i < n+1; ++i) {
        if (s[i] > * L.rbegin()) {
            L.insert(s[i]);
        }
        else {
            L.erase(L.lower_bound(s[i]));
            L.insert(s[i]);
        }
    }

    return L.size();
}

vector<int> find_lis_dp1(const vector<int>& s, int n) {
    vector<int> dp(n + 1, 1); // 初始化dp数组，dp[i]表示以s[i]结尾的LIS的长度
    vector<int> parent(n + 1, -1); // 记录每个元素的父节点索引

    for (int k = 2; k <= n; ++k) {
        for (int i = 1; i < k; ++i) {
            if (s[k] > s[i] && dp[k] < dp[i] + 1) {
                dp[k] = dp[i] + 1;
                parent[k] = i; // 更新父节点索引
            }
        }
    }

    int max_length = *max_element(dp.begin(), dp.end()); // 获取最长递增子序列的长度
    int max_index = distance(dp.begin(), find(dp.begin(), dp.end(), max_length)); // 获取最长递增子序列的结束索引

    vector<int> lis;
    while (max_index != -1) {
        lis.push_back(s[max_index]);
        max_index = parent[max_index]; // 根据父节点索引回溯
    }

    reverse(lis.begin(), lis.end()); // 反转得到正确顺序的最长递增子序列

    return lis;
}

vector<int> find_lis_dp2(const vector<int>& s, int n) {
    vector<vector<int>> dp(n + 2, vector<int>(n + 2, -1)); // 初始化dp数组，dp[i][j]表示L(i,j)
    vector<vector<int>> parent(n + 2, vector<int>(n + 2, -1)); // 记录每个元素的父节点索引

    for (int i = 0; i <= n + 1; ++i)
        dp[i][n + 1] = 0; // 基本情况：当 j > n 时，L(i,j) = 0

    for (int j = n; j >= 1; --j) {
        for (int i = 0; i < j; ++i) {
            if (s[i] >= s[j]) {
                dp[i][j] = dp[i][j + 1];
            }
            else {
                dp[i][j] = max(dp[i][j + 1], 1 + dp[j][j + 1]);
                if (dp[i][j] == dp[j][j + 1] + 1) {
                    parent[i][j] = j; // 更新父节点索引
                }
            }
        }
    }

    vector<int> lis;
    int i = 0, j = 1;
    while (j <= n) {
        if (dp[i][j] == dp[j][j + 1] + 1) {
            lis.push_back(s[j]);
            i = j;
        }
        ++j;
    }

    return lis;
}

vector<int> find_lis_dp3(const vector<int>& s, int n) {
    vector<int> lis;
    set<int> L;

    L.insert(s[1]);

    for (int i = 2; i < n + 1; ++i) {
        if (s[i] > *L.rbegin()) {
            L.insert(s[i]);
        }
        else {
            L.erase(L.lower_bound(s[i]));
            L.insert(s[i]);
        }
    }
    
    for (int num : L) {
        lis.push_back(num);
    }
    return lis;
}

int main(int argc, const char* argv[]) {
    vector<int> s = { -1, 8, 3, 6, 1, 3, 5, 4, 7 }; // 注意s[0]仅作标识，真实数据为s[1]~s[n]
    cout << lis_dp1(s, s.size() - 1) << endl;
    cout << find_lis_dp1(s, s.size() - 1) << endl;
    cout << "------------------------------"  << endl;
    cout << lis_dp2(s, s.size() - 1) << endl;
    cout << find_lis_dp2(s, s.size() - 1) << endl;
    cout << "------------------------------" << endl;
    cout << lis_dp3(s, s.size() - 1) << endl;
    cout << find_lis_dp3(s, s.size() - 1) << endl;
    cout << "------------------------------" << endl;
    return 0;
}

运行结果：

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