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线性代数（六）| 二次型 标准型转换 正定二次型 正定矩阵

8月前 作者：Qodi 分类：Toy博客 阅读(33) 违法举报

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了线性代数（六）| 二次型 标准型转换 正定二次型 正定矩阵。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

1. 二次型化为标准型

和第五章有什么样的联系

首先上一章我们说过对于对称矩阵，一定存在一个正交矩阵Q，使得$Q^{-1}AQ=B $ B为对角矩阵

那么这一章中，我们讲到，二次型写成矩阵后本质上就是一个对称矩阵，而我们想把它变的标准型，不就正好是一个对角矩阵，那么实际上我们的这个化标准型，本质上不就是矩阵对角化吗

但我们在上一章中是$Q^{-1}AQ=B $ 引入的 矩阵关系叫矩阵相似

而在这一章中是$Q^{T}AQ=B $ 引入的矩阵关系叫矩阵合同

有同学会很好奇，那这不是不一样嘛，而我们其实了解到，对于正交矩阵 Q − 1 = Q T Q^{-1}=Q^T Q−1=QT ，也就不难理解他们是一样的了

1.1 正交变换法

（1）求矩阵特征值和特征向量

（2）特征向量正交化和单位化
二次型通过正交变换化为二次型,数学科学,线性代数,矩阵

二次型通过正交变换化为二次型,数学科学,线性代数,矩阵

二次型通过正交变换化为二次型,数学科学,线性代数,矩阵

1.2 配方法

一般用到比较少

2 . 正定二次型与正定矩阵

​ 等价关系

（1）二次型 X T A X X^TAX XTAX是>0的

（2）A是正定矩阵

（3）A的正惯性指数是n

（4）A合同于单位矩阵

（5）A的特征值都是正数

（6）A的顺序主子式都大于零

二次型通过正交变换化为二次型,数学科学,线性代数,矩阵

​ 可以写出二次型矩阵 ( 1 t 1 t 4 0 1 0 2 ) \begin{pmatrix}1&t&1\\t&4&0\\1&0&2\end{pmatrix} ​1t1​t40​102​ ​ 另它的行列式大于零即可文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-775338.html

到了这里，关于线性代数（六）| 二次型 标准型转换 正定二次型 正定矩阵的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！

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