1. 二次型化为标准型
和第五章有什么样的联系
首先上一章我们说过对于对称矩阵,一定存在一个正交矩阵Q,使得$Q^{-1}AQ=B $ B为对角矩阵
那么这一章中,我们讲到,二次型写成矩阵后本质上就是一个对称矩阵,而我们想把它变的标准型,不就正好是一个对角矩阵,那么实际上我们的这个化标准型,本质上不就是矩阵对角化吗
但我们在上一章中是$Q^{-1}AQ=B $ 引入的 矩阵关系叫矩阵相似
而在这一章中是$Q^{T}AQ=B $ 引入的矩阵关系叫矩阵合同
有同学会很好奇,那这不是不一样嘛,而我们其实了解到,对于正交矩阵 Q − 1 = Q T Q^{-1}=Q^T Q−1=QT ,也就不难理解他们是一样的了
1.1 正交变换法
(1)求矩阵特征值和特征向量
(2)特征向量正交化和单位化
1.2 配方法
一般用到比较少
2 . 正定二次型与正定矩阵
等价关系
(1)二次型 X T A X X^TAX XTAX是>0的
(2)A是正定矩阵
(3)A的正惯性指数是n
(4)A合同于单位矩阵
(5)A的特征值都是正数
(6)A的顺序主子式都大于零
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可以写出二次型矩阵 ( 1 t 1 t 4 0 1 0 2 ) \begin{pmatrix}1&t&1\\t&4&0\\1&0&2\end{pmatrix} 1t1t40102 另它的行列式大于零即可文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-775338.html
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