线性代数：正交变换学习笔记-Toy模板网

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线性代数：正交变换学习笔记

一、定义

在线性代数中，如果一个矩阵 $A$ 满足 $A^T A = A A^T = I$ ，则称其为正交矩阵。正交矩阵也常被称为正交变换。

正交变换是线性变换的一种特殊形式，它不改变向量的长度和夹角。因此，它可以用来描述旋转、镜像等几何变换。

二、性质

正交矩阵有以下性质：

1. 性质1

正交矩阵的列向量和行向量都是标准正交基。

2. 性质2

正交矩阵的行列式的值为 $\pm 1$ 。

3. 性质3

正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即 $A^{-1} = A^T$ 。

4. 性质4

正交矩阵的转置矩阵也是正交矩阵。

5. 性质5

两个正交矩阵的乘积还是正交矩阵。

6. 性质6

如果矩阵 $A$ 是正交矩阵，则有 $∣∣ A x ∣∣ = ∣∣ x ∣∣$ ，其中 $||\cdot||$ 表示向量的长度。

三、常见的正交变换

1. 旋转变换

对于平面上的向量 $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ ，绕原点逆时针旋转角度 $\theta$ 后得到新的向量 $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ ，其变换矩阵为

$R_{\theta} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$

$R_{\theta}$ 是一个正交矩阵，因为 $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ 。

2. 镜像变换

对于平面上的向量 $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ ，关于直线 $y = x$ 的镜像后得到新的向量 $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ ，其变换矩阵为

$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

$M$ 是一个正交矩阵，因为 $M^T M = I$ 。

3. 投影变换

对于平面上的向量 $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ ，沿着直线 $y = 0$ 投影后得到新的向量 $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ ，其变换矩阵为

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

$P$ 不是一个正交矩阵。

四、应用

正交变换在计算机图形学、信号处理、数据压缩和机器学习等领域有着广泛的应用。例如：文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-776343.html

计算机图形学：用于对三维模型进行旋转、平移、缩放等变换。
信号处理：用于滤波、降噪、特征提取等操作。
数据压缩：用于将高维数据投影到低维空间中，以便于可视化和处理。
机器学习：用于降维、特征提取和正则化等操作。

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