1 前言：
韦伯分布被经常用来对失效性（time to Failure）或者，反而言之为，可靠性，进行衡量的工具。他的目标就是构建一个失效性分析的模型，或者说构建一个失效性分析的Pattern. 失效性可用于很多领域，包括存储器元器件、机械抗疲劳、以及航空、汽车结构件。
本章介绍韦布尔分布(weibull distribution)的累计分布函数CDF\密度分布函数PDF\数学期望EDF的基本公式、参数、基本图形和推导。
在介绍公式概念的时候，把概率论里面通用的概念大多拿出来在概念小节进行了阐述。
韦伯分布还有一个重要的，特点就是他的灵活性非常好。
韦伯分布的应用场景：包括，【工业制造、研究生产过程和运输时间关系、极值理论、预测天气、可靠性和失效分析、雷达系统对接受到的杂波信号的依分布建模。拟合度无线通信技术中，相对指数衰减频道模型，Weibull衰减模型对衰减频道建模有较好的拟合度。量化寿险模型的重复索赔、预测技术变革、风速由于曲线形状与现实状况很匹配，被用来描述风速的分布。】
2 韦伯分布的累计分布函数（CDF-Cumulative Distribution Function）：
【案，本章CDF就是指的 CDF of weibull 】
【CDF其实就是PDF的积分，见附件的参考定义】
2.1 双参数韦伯分布累计分布函数和推导
【Franklin案，在展示CDF公式的之前，不得不提我们的国内的某些度知识里面的公式，采用的希腊字母完全和国外的不同，然而，很多希腊字母在使用中有特定的意义，本文采用的是通用的表达公式】
F
(
x
)
=
{
1
−
e
−
(
x
λ
)
k
x
≥
0
0
x
<
0
【
某
度
表
达
式
】
F
(
x
)
=
{
1
−
e
−
(
x
η
)
β
x
≥
0
0
x
<
0
【
通
用
表
达
式
】
F(x)=\left\{\begin{matrix} 1-e^{-(\frac{x}{\lambda })^{k}} & x\geq 0 & \\ 0& x< 0 & \end{matrix}\right.【某度表达式】 F(x)=\left\{\begin{matrix} 1-e^{-(\frac{x}{\eta })^{\beta }} & x\geq 0 & \\ 0& x< 0 & \end{matrix}\right.【通用表达式】
F(x)={1−e−(λx)k0x≥0x<0【某度表达式】F(x)={1−e−(ηx)β0x≥0x<0【通用表达式】
【某度】
- x 为随机变量 (continuous random variable)
- k 为形状参数 (shape parameter）
- λ 缩放因子 (scale parameter）
【通用】
- x 为随机变量 (continuous random variable)[案，大多用t表述]
- β 为形状参数 (shape parameter）
- η 缩放因子 (scale parameter）
【如果我们把t作为代表Failure的随机变量，累计分布函数就表征了一个系统的寿命周期（因为依赖于时间）中发生故障随机时间的概率的累计情况】
F
(
t
)
=
1
−
e
−
(
t
η
)
β
(
t
>
0
)
\large\displaystyle F(t) = 1 - e^{-(\frac{t}{\eta })^{\beta }} (t>0)
F(t)=1−e−(ηt)β(t>0)
显然，由于我们定义了F(t)作为系统的实效率函数(failure rate function)，那么对应的，系统可靠性（Reliability）的函数为：
【失效和可靠完全是两个完全随机变量，所有，其实可以反着定义,所以，也有互相叫reverse Weibull Distribution的说法】
R
(
t
)
=
1
−
F
(
t
)
\large\displaystyle R(t) = 1 - F(t)
R(t)=1−F(t)
也就是，
R
(
t
)
=
e
−
(
t
η
)
β
(
t
>
0
)
\large\displaystyle R(t) = e^{-(\frac{t}{\eta })^{\beta }} (t>0)
R(t)=e−(ηt)β(t>0)
上
图
，
显
示
了
F
(
t
)
R
(
t
)
在
构
建
失
效
图
的
意
义
，
红
色
为
系
统
故
障
的
概
率
，
绿
色
为
系
统
稳
定
的
概
率
上图，显示了F(t) R(t)在构建失效图的意义，红色为系统故障的概率，绿色为系统稳定的概率
上图，显示了F(t)R(t)在构建失效图的意义，红色为系统故障的概率，绿色为系统稳定的概率
【显然，这也是累计分布函数的意义展示。上图纵坐标为发生问题的概率，而横坐标为时间（t）】
The Cumulative Distribution Function (CDF), of a real-valued random variable X, evaluated at x, is the probability function that X will take a value less than or equal to x.
【累计分布函数就是计算随机变量小于等于某个值的所有可能的概率】
2.2 三参数韦伯分布累计分布函数
F ( x ) = { 1 − e − ( x − γ η ) β x ≥ 0 0 x < 0 【 通 用 表 达 式 】 \large\displaystyle F(x)=\left\{\begin{matrix} 1-e^{-(\frac{x-\gamma}{\eta })^{\beta }} & x\geq 0 & \\ 0& x< 0 & \end{matrix}\right.【通用表达式】 F(x)={1−e−(ηx−γ)β0x≥0x<0【通用表达式】
- x 为随机变量 (continuous random variable)[案，大多用t表述]
- β 为形状阐述 (shape parameter）
- η 缩放因子 (scale parameter）
- γ 位置参数 (location parameter) 也有被称为threshold参数
【案，多了一个位置参数】
【案，CDF在某些分析里面，似乎也被称为 Weibull probability plot】
3 韦伯分布的概率密度函数（PDF-Probability density function）：
【案，本章PDF就是指的 PDF of weibull 】
3.1 PDF的推导
PDF 其实就是 CDF 的微分，从名字也可以知道，一个是累计函数，一个是密度函数。
可以通过数学推导求出PDF的表达式：
d
F
(
t
)
d
x
=
f
(
t
)
\frac{\mathrm{d} F(t)}{\mathrm{d} x}=f(t)
dxdF(t)=f(t)
依据简单的微积分公式，
d
(
1
)
d
x
=
0
,
d
(
e
x
)
d
x
=
e
x
,
d
(
e
a
x
)
d
x
=
a
e
a
x
,
d
(
a
x
k
)
d
x
=
a
x
k
−
1
e
a
x
k
\frac{\mathrm{d}(1)}{\mathrm{d} x}=0,\frac{\mathrm{d}(e^{x})}{\mathrm{d} x}=e^{x},\frac{\mathrm{d}(e^{ax})}{\mathrm{d} x}=ae^{ax},\frac{\mathrm{d}(ax^{k})}{\mathrm{d} x}=ax^{k-1}e^{ax^{k}}
dxd(1)=0,dxd(ex)=ex,dxd(eax)=aeax,dxd(axk)=axk−1eaxk
可得，
F
(
t
)
=
1
−
e
−
(
t
η
)
β
，
f
(
t
)
=
d
F
(
t
)
d
x
=
0
−
d
e
−
(
t
η
)
β
d
x
F(t) = 1 - e^{-(\frac{t}{\eta })^{\beta }}， f(t)=\frac{\mathrm{d} F(t)}{\mathrm{d} x}=0- \frac{\mathrm{d} e^{-(\frac{t}{\eta })^{\beta }}}{\mathrm{d} x}
F(t)=1−e−(ηt)β，f(t)=dxdF(t)=0−dxde−(ηt)β
令，
a
=
−
(
1
η
)
β
,
d
(
e
a
x
)
d
x
=
a
e
a
x
a=-(\frac{1}{\eta })^{\beta },\frac{\mathrm{d}(e^{ax})}{\mathrm{d} x}=ae^{ax}
a=−(η1)β,dxd(eax)=aeax
f
(
t
)
=
−
(
1
η
)
β
.
t
β
−
1
.
β
.
e
−
(
t
η
)
β
=
β
η
β
t
β
−
1
e
−
(
t
η
)
β
\large\displaystyle f(t)=-(\frac{1}{\eta })^{\beta }.t^{\beta-1}.\beta.e^{-(\frac{t}{\eta })^{\beta }}= \frac{\beta }{\eta ^{\beta }}t^{\beta -1}e^{-(\frac{t}{\eta })^\beta }
f(t)=−(η1)β.tβ−1.β.e−(ηt)β=ηββtβ−1e−(ηt)β
由此，我们得到下列两参数的韦伯分布的密度函数的表达式：
3.2 两参数Weibull Distribution的PDF
f ( t ; β , η ) = { β η β t β − 1 e − ( t η ) β t , β , η > 0 0 其 他 情 况 \large\displaystyle f(t;\beta,\eta)=\left\{\begin{matrix} \frac{\beta }{\eta ^{\beta }}t^{\beta -1}e^{-(\frac{t}{\eta })^\beta } & t,\beta,\eta> 0 & \\ 0& 其他情况 & \end{matrix}\right. f(t;β,η)={ηββtβ−1e−(ηt)β0t,β,η>0其他情况
- β (shape parameter 形状参数) 又被称为 weibull slope 韦伯斜率
- η (scale parameter 缩放参数）
其图像如下：
但是，其实韦伯分布更详细的定义为3参数的表达式。
3.3 三参数韦伯分布Weibull Distribution的PDF(Probability density function)
一个连续的随机变量X，具备下列三个参数和密度函数的为三参数韦伯分布。
f ( t ; β , η , γ ) = { β η β ( t − γ ) β − 1 e − ( t − γ η ) β t , β , η > 0 0 其 他 情 况 \large\displaystyle f(t;\beta,\eta,\gamma)=\left\{\begin{matrix} \frac{\beta }{\eta ^{\beta }}(t-\gamma)^{\beta -1}e^{-(\frac{t-\gamma}{\eta })^\beta } & t,\beta,\eta> 0 & \\ 0& 其他情况 & \end{matrix}\right. f(t;β,η,γ)={ηββ(t−γ)β−1e−(ηt−γ)β0t,β,η>0其他情况
- β (shape parameter 形状参数) 又被称为 weibull slope 韦伯斜率
- η (scale parameter 缩放参数）
- γ (location parameter 位置参数，又被称为 threshold 阈值参数)
【案，可见，当γ=0的时候，三参数变为两参数分布】
3.4 单参数-标准Weibull Distribution的PDF
【案摘录，希腊字母表意有点不同】
4 失效率函数故障率函数(Hazard Rate or Failure rate Function)
h
(
t
)
=
f
(
t
)
R
(
t
)
=
β
η
β
t
β
−
1
e
−
(
t
η
)
β
e
−
(
t
η
)
β
=
β
η
β
.
t
β
−
1
\large\displaystyle h(t) =\frac{f(t)}{R(t)}=\frac{\frac{\beta }{\eta ^{\beta }}t^{\beta -1}e^{-(\frac{t}{\eta })^\beta }}{ e^{-(\frac{t}{\eta })^{\beta }}}=\frac{\beta}{\eta^\beta}.t^{\beta-1}
h(t)=R(t)f(t)=e−(ηt)βηββtβ−1e−(ηt)β=ηββ.tβ−1
5 E(X)、均值、数学期望或者说是平均寿命计算( Weibull mean life or MTTF)
【三参数公式】
E
(
X
)
=
η
Γ
(
1
+
1
β
)
+
μ
\large\displaystyle E(X) =\eta \Gamma \left( 1+\frac{1}{\beta } \right)+\mu
E(X)=ηΓ(1+β1)+μ
【两参数公式】
E
(
X
)
=
η
Γ
(
1
+
1
β
)
\large\displaystyle E(X) =\eta \Gamma \left( 1+\frac{1}{\beta } \right)
E(X)=ηΓ(1+β1)
Γ
(
x
)
\Gamma(x)
Γ(x)【案，这里出现了伽马函数，在参考列表里面有比较详细的介绍】
【案，数学期望是我们做韦伯分布要研究的一个最重要概念，他反映的就是研究对象的平均生命周期】
6 方差公式(Variance) V(X)
σ
=
η
2
[
Γ
(
1
+
2
β
)
−
Γ
2
(
1
+
1
β
)
]
\large\displaystyle \sigma ={{\eta }^{2}}\left[ \Gamma \left( 1+\frac{2}{\beta } \right)-{{\Gamma }^{2}}\left( 1+\frac{1}{\beta } \right) \right]
σ=η2[Γ(1+β2)−Γ2(1+β1)]
【案，方差公式是数学期望的均值，一般计算结果小于E(X)】
7 其他相关定义公式
7.1 偏度（skewness）
7.2 峰度（kurtosis）
7.3 中位等式，或者叫B50公式
【案，用来计算汽车比如提供检修周期、或者其他系统进行中期检修的计算】
7 名词参考：
7.0 累计分布：（Cumulative Density）CDF
Fx(x) = P(X ≤ x) [CDF 就是累计随机变量取值之前的所有可能概率。【案，一般用大F(x)表述】
【案，举个简单的例子，丢骰子，是个随机事件发生6种不同的结果的概率相同的，那么，获得1点的概率就是1/6,获得2点的概率也是1/6，那么，获得2个以下点的概率，就是获得1点的概率和2点的概率的和，也就是累积概率，可以表述为小于等于2的概率就是1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3】
于是有：
Probability of getting 1 = P(X≤ 1 ) = 1 / 6
Probability of getting 2 = P(X≤ 2 ) = 2 / 6
Probability of getting 3 = P(X≤ 3 ) = 3 / 6
Probability of getting 4 = P(X≤ 4 ) = 4 / 6
Probability of getting 5 = P(X≤ 5 ) = 5 / 6
Probability of getting 6 = P(X≤ 6 ) = 6 / 6 = 1
这是离散的，
Where X is the probability that takes a value less than or equal to x and that lies in the semi-closed interval (a,b], where a < b.
P(a < X ≤ b) = Fx(b) – Fx(a)
如果，搞成连续的，那么，CDF可以看成是PDF的积分，下面这个例子展示了这个关系：
已知PDF,
求CDF,
7.1 概率密度：（Probability Density）PDF
概率密度，通用的描述，可以参考文后的参考链接。这里简单累述一下。
我们理解概率密度，PD，可以认为他就是一个随机事件发生的概率。然后，这个概率的取值p(x),和发生的随机事件有一个对应的关系，我们可以认为是一个函数,f(x)。
x的定义域理解为概率相关的定义区间，事件随机发生的几率。所有区间的事件发生概率显然为1。
单纯的讲概率密度没有实际的意义，它必须有确定的有界区间为前提。可以把概率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生的概率，所有面积的和为1
对于随机变量X的分布函数F(x)，如果存在非负可积函数f(x)，使得对任意实数x，有
则X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，简称为概率密度。
【案，一般用大F(x)表述CDF,f(x)表述PDF】
7.2 伽马函数
伽马函数在数学中随处可见。
从统计学，数论，数学中的复分析，到物理学中的弦理论。它似乎是一种数学粘合剂，将不同的领域联系在一起。
1738年，伟大的欧拉，立志将阶乘推广到非整数的范围。
Γ
(
n
)
=
(
n
−
1
)
!
\large\displaystyle \Gamma \left( n \right)=\left( n-1 \right)!
Γ(n)=(n−1)!
【这个推导过程请参阅文末的链接，总之，伽马函数从离散到连续可以表述为下面的表达式】
Γ
(
n
)
=
∫
0
∞
t
n
−
1
e
−
t
d
t
\large\displaystyle \Gamma \left( n \right)=\int _{0}^{\infty }{{{t}^{n-1}}}{{e}^{-t}}dt
Γ(n)=∫0∞tn−1e−tdt
7.2.1 伽马函数的性质：
7.2.2 伽马分布：
7.2.3 伽马分布的数学期望和方差
7.3 数学期望【均值】E(X)
7.3.1 定义：
就是均值：在概率论和统计学中，数学期望(mathematic expectation [4] )（或均值，亦简称期望）
是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。
表达式，E(x)
7.3.2 起源故事：
在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，一共进行五局，赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第四局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？
用概率论的知识，不难得知，甲获胜的可能性大，乙获胜的可能性小。
因为甲输掉后两局的可能性只有(1/2)×(1/2）=1/4，也就是说甲赢得后两局或后两局中任意赢一局的概率为1－(1/4)=3/4，甲有75%的期望获得100法郎；而乙期望赢得100法郎就得在后两局均击败甲，乙连续赢得后两局的概率为(1/2)(1/2)=1/4，即乙有25%的期望获得100法郎奖金。
可见，虽然不能再进行比赛，但依据上述可能性推断，甲乙双方最终胜利的客观期望分别为75%和25%，因此甲应分得奖金的10075%=75(法郎)，乙应分得奖金的的100×25%=25(法郎)。这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。
7.3.3 连续型数学期望
设连续性随机变量X的概率密度函数为f(x)，若积分绝对收敛，则称积分的值
为随机变量的数学期望，记为E(X)。
7.4 高斯分布
Normal Probability Distribution Formula
P
(
x
)
=
1
2
π
σ
2
e
−
(
x
−
μ
)
2
/
2
σ
2
\begin{array}{l}\large P(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^{2}}} e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}\end{array}
P(x)=2πσ21e−(x−μ)2/2σ2
μ = Mean
σ = Standard Distribution.
x = Normal random variable.
文献参考：
Cumulative Distribution Function
Weibull Distribution , ASQ ,Hemant Urdhwareshe
Characteristics of the Weibull Distribution文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-777449.html
The New Weibull Handbook
世界上最美丽的函数——γ函数，一颗数学皇冠上的明珠
Understanding Probability Distributions文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-777449.html
到了这里，关于Weibull Distribution韦布尔分布的深入详述（1）原理和公式的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
