超螺旋滑模控制详细介绍（全网独家）-Toy模板网

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关于超螺旋滑模控制（或称超扭滑模控制）的论文有很多，但关于其具体的稳定性证明却少之又少，数学功底不强的人很容易在中间步骤被卡壳。因此，笔者在这里给出详尽的稳定性证明过程，一并将超螺旋滑模控制理论介绍给各位读者，希望能为各位带来一定的参考。

关于该理论的详细证明过程，笔者目前没有找到其他文章，因此本文可以算作是全网第一篇完全详细推导的文章，喜欢的读者可以收藏加点赞。

本文需要读者具有一定的滑模控制理论的知识，可以点击传送门进行学习：滑模控制理论（SMC）概述。强烈建议读者阅读完该文章后再来阅读本文！

1. 系统模型

一般地，对于非线性系统可以建立具有标准柯西形式的微分方程组。令状态量为 $x_1,x_2 = \dot x_1$ ，则有：
$\begin{cases} \dot x_1 = x_2 \\ \dot x_2 = f + g \cdot u \end{cases}$ 与传统的滑模控制相比，超螺旋控制算法使用积分来获得实际控制量，不含高频切换量，因而系统中没有抖振。
令滑模面为 $s$ ，只要满足如下方程：
$\begin{cases} \dot s = - \lambda \left| s \right| ^{\frac{1}{2}} \cdot sign (s) + \nu \\ \dot \nu = - \alpha \cdot sign(s) \tag{1} \end{cases}$ 则系统即为稳定的。

2. 控制量设计

设状态 $x$ 的期望值为 $x_d$ ，则跟踪误差为 $e_1 = x_1 - x_d$ 。设 $e_2 = \dot e_1 = \dot x_1 - \dot x_d = x_2 - \dot x_d$ ，并设滑模面为：
$c_1 e_1 + e_2 \tag{2}$ 对其求导
$\begin{aligned} \dot s &= c_1 \dot e_1 + \dot e_2 \\ &= c_1 e_2 + f + g \cdot u - \ddot x_d \end{aligned}$ 容易看出，此时如果设
$g^{-1} \left( -f + \ddot x_d - c_1 e_2 - \lambda \left| s \right| ^{\frac{1}{2}} sign (s) - \alpha \cdot sign(s) \right) \tag{3}$ 则 $\dot s$ 就能具有式(1)的形式。
对于(1)中参数设定为：
$\dot \lambda = \omega_1 \sqrt{\frac{\gamma_1}{2}},\\ \alpha = \lambda \varepsilon + \frac{1}{2} \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) \tag{4}$ 式中 $\alpha, \beta, \varepsilon, \lambda, \omega_1, \gamma_1$ 均大于零。

3. 稳定性证明

容易看出，与传统滑模控制不同的是， $u$ 中含有的不再是滑模面 $s$ ，而是其多项式 $\left| s \right| ^{\frac{1}{2}} sign(s)$ 。除此之外，在 $\dot s$ 表达式中还出现了另一个参数 $\nu$ （式(1)）。不妨把这两者设定为新的状态变量，在此基础上设成李雅普诺夫函数。

令
$\begin{cases} z_1 = \left| s \right| ^{\frac{1}{2}} sign(s) \\ z_2 = \nu \end{cases} \tag{5}$ 则对应的各自导数为
$\begin{cases} \dot z_1 = \frac{1}{2} \left| s \right| ^{-\frac{1}{2}} \dot s = \frac{1}{2} \left| s \right| ^{-\frac{1}{2}} \left( -\lambda \left| s \right| ^{\frac{1}{2}} sign(s) - \alpha \cdot sign(s) \right) \\ \dot z_2 = \dot \nu = - \alpha \cdot sign(s) \end{cases} \tag{6}$ 又因为 $\left| z_1 \right| = \left| s \right| ^{\frac{1}{2}}$ ，故 $\frac{1}{\left| z_1 \right|} = \left| s \right| ^{-\frac{1}{2}}$ 。故式(6)即为
$\begin{cases} \dot z_1 = \frac{1}{2 \left| z_1 \right| } \left( -\lambda z_1 + z_2 \right) \\ \dot z_2 = \dot \nu = - \alpha \cdot sign(s) = - \alpha \cdot sign(s) \cdot \left| s \right| ^{\frac{1}{2}} \cdot \left| s \right| ^{-\frac{1}{2}} = -\frac{\alpha}{ \left| z_1 \right| } z_1 \end{cases} \tag{7}$ 即：
$\begin{cases} \dot z_1 = \frac{1}{2 \left| z_1 \right| } \left( -\lambda z_1 + z_2 \right) \\ \dot z_2 = -\frac{\alpha}{ \left| z_1 \right| } z_1 \end{cases} \tag{7}$ 设新的状态变量为
$\left[ \begin{matrix} z_1 \\ z_2 \end{matrix} \right]$ 并定义李雅普诺夫函数为
$V_0 =\left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) z_1^2 + z_2^2 - 4 \varepsilon z_1 z_2 = Z^T P Z \tag{8}$ 其中 $\left[ \begin{matrix} \beta + 4 \varepsilon^2 & -2 \varepsilon \\ -2 \varepsilon & 1 \end{matrix} \right] \tag{9}$
定理1：矩阵 $A$ 正定的充要条件是矩阵 $A$ 的所有特征根均大于零。

根据定理1不难得出矩阵 $P$ 是正定的，因而李雅普诺夫函数 $V_0 \geq 0$ 。

3.1 李雅普诺夫函数 V 0 V_0 V0的求导过程

直接对(8)求导。
$\begin{aligned} \dot V_0 &= 2 \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) z_1 \dot z_1 +2 z_2 \dot z_2 - 4 \varepsilon z_2 \dot z_1 - 4 \varepsilon z_1 \dot z_2 \\ &= 2 \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) z_1 \cdot \frac{1}{2 \left| z_1 \right| } \left( -\lambda z_1 + z_2 \right) + 2 z_2 \left( -\frac{\alpha}{ \left| z_1 \right| } z_1 \right) - 4 \varepsilon z_2 \cdot \frac{1}{2 \left| z_1 \right| } \left( -\lambda z_1 + z_2 \right) - 4 \varepsilon z_1 \left( -\frac{\alpha}{ \left| z_1 \right| } z_1 \right) \\ &= - \frac{\lambda}{\left| z_1 \right| } \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) z_1^2 + \frac{1}{\left| z_1 \right| } \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) z_1 z_2 - \frac{2 \alpha}{\left| z_1 \right| } z_1 z_2 + \frac{2 \lambda \varepsilon}{\left| z_1 \right| } z_1 z_2 - \frac{2 \varepsilon}{\left| z_1 \right| } z_2^2 + \frac{4 \alpha \varepsilon}{\left| z_1 \right| } z_1^2 \\ &= \frac{1}{\left| z_1 \right| } \left[ 4 \alpha \varepsilon - \lambda \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) \right] z_1^2 + \frac{1}{\left| z_1 \right| } \left[ \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) - 2 \alpha + 2 \lambda \varepsilon \right] z_1 z_2 - \frac{2 \varepsilon}{ \left| z_1 \right| } z_2^2 \\ &= \frac{1}{\left| z_1 \right| } Z^T \left[ \begin{matrix} 4 \alpha \varepsilon - \lambda \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) & \qquad \qquad \quad \frac{1}{2}\left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) - \alpha + \lambda \varepsilon \\ \frac{1}{2}\left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) - \alpha + \lambda \varepsilon & \qquad \qquad \quad -2 \varepsilon \end{matrix} \right] Z \\ &= -\frac{1}{\left| z_1 \right| }Z^TQZ \end{aligned} \tag{10}$ 注意(10)中最后一个等号前加了负号。这样 $Q$ 即为
$\left[ \begin{matrix} -4 \alpha \varepsilon + \lambda \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) & \qquad -\frac{1}{2}\left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) + \alpha - \lambda \varepsilon \\ -\frac{1}{2}\left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) + \alpha - \lambda \varepsilon & \qquad 2 \varepsilon \end{matrix} \right] \tag{11}$ 这样我们得到李雅普诺夫函数的导数：
$\dot V_0 = -\frac{1}{\left| z_1 \right| }Z^TQZ \tag{12}$

3.2 关于李雅普诺夫函数导数的结论（必读部分）

我们把式(11)所代表的 $Q$ 表示为
$\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right]$ 下面开始求 $Q$ 的特征根的一般形式。
$\left| pI - Q \right| = \left| \begin{matrix} p-A & -B \\ -C & p-D \end{matrix} \right| = p^2 - (A+D) p + AD - BC$ $\Delta = b^2 - 4ac = (A+D)^2 - 4(AD - BC) = (A-D)^2 +4BC$ 特征根为
$p_{1,2} (Q) = \frac{A+D \pm \sqrt{(A-D)^2 +4BC}}{2}$ 设两个特征根中大的为 $q_{\max}(Q)$ ，小的为 $q_{\min}(Q)$ ，有
$\begin{cases} p_{\max}(Q) = \frac{A+D + \sqrt{(A-D)^2 +4BC}}{2} \\ p_{\min} (Q)= \frac{A+D - \sqrt{(A-D)^2 +4BC}}{2} \end{cases}$ 为方便表示，把根号部分记为 $R$ ，进而 $p_{\min} (Q)Z^TZ = \frac{A+D - R}{2} \left( z_1^2 + z_2^2 \right) \tag{13}$ 另一方面有
$Z^TQZ = A z_1^2 + (B+C)z_1 z_2 + D z_2^2 \tag{14}$ 为比较 $p_{\min} (Q)Z^TZ$ 与 $Z^TQZ$ 的大小，不妨作差：
$\begin{aligned} 2 \left( Z^TQZ - p_{\min} (Q)Z^TZ \right) &= 2A z_1^2 +2(B+C)z_1 z_2 + 2D z_2^2 - \left[ A+D - R \right] (z_1^2 + z_2^2 ) \\ &= \left( A - D + R \right) z_1^2 + \left( D-A+R \right) z_2^2 + 2 (B+C) z_1 z_2 \\ &= \left( A - D + R \right) \left[ z_1^2 + \frac{D-A+R}{A-D+R} z_2^2 + \frac{2(B+C)}{A-D+R}z_1 z_2 \right]\\ &= \left( A - D + R \right) \left[ z_1^2 + \frac{( R + D - A)^2}{R^2 - (D-A)^2} z_2^2 + \frac{2(B+C)(R+D-A)}{R^2 - (D-A)^2}z_1 z_2 \right] \\ &= \left( A - D + R \right) \left[ z_1^2 + \frac{(R+D-A)^2}{4BC}z_2^2 + \frac{2(B+C)(R+D-A)}{4BC}z_1 z_2 \right] \\ &= \left( A - D + R \right) \left[ \left( z_1 + \frac{R+D-A}{2 \sqrt{BC}}z_2 \right)^2 + \frac{2(B+C)(R+D-A)}{4BC}z_1 z_2 - \frac{R+D-A}{\sqrt{BC}}z_1 z_2 \right] \\ &= \left( A - D + R \right) \left[ \left( z_1 + \frac{R+D-A}{2 \sqrt{BC}}z_2 \right)^2 + \frac{(R+D-A)(2B+2C-4\sqrt{BC})}{4BC}z_1 z_2 \right] \tag{15} \end{aligned}$ 对于(15)，式中 $\left( A-D+R \right)$ 为常数项；因此最后结果可看成由2部分组成，第一部分为完全平方式，大于等于零；而对于第二部分的分子来说又分为 $R + D - A$ 和 $2B+2C-4\sqrt{BC}$ 两部分。其中：
$\sqrt{(A-D)^2 +4BC} +D-A = \sqrt{(A-D)^2 +4BC} - (A-D) \geq 0$ 而根据绝对不等式 $2B+2C-4\sqrt{BC} \geq 4 \sqrt{BC} - 4 \sqrt{BC} = 0$ 故式(15)的第二部分也大于等于零。

到这里我们总结可以得到：
$Z^TQZ - p_{\min}(Q) Z^TZ \geq 0$ 即 $p_{\min}(Q) Z^TZ \leq Z^TQZ \tag{16}$ 同理可以得
$p_{\max} (Q)Z^TZ \geq Z^TQZ \tag{17}$

3.3 李雅普诺夫函数导数的变换

式(17)是对 $\dot V_0 = -\frac{1}{\left| z_1 \right| }Z^TQZ$ 作出的，对于 $V_0 = Z^TPZ$ 同样根据式(17)有
$p_{\max} (P)Z^TZ \geq Z^TPZ \Longrightarrow \\ \left( Z^TPZ \right)^{\frac{1}{2}} \leq p_{\max}^{\frac{1}{2}}(P)\left( Z^T Z \right)^{\frac{1}{2}} = p_{\max}^{\frac{1}{2}} (P)\left| \left| Z \right| \right| \Longrightarrow \\ \left| \left| Z \right| \right| \geq \frac{\left( Z^TPZ \right)^{\frac{1}{2}}}{p_{\max}^{\frac{1}{2}}(P)} = \frac{V_0^{\frac{1}{2}}}{p_{\max}^{\frac{1}{2}}(P)} \tag{18}$ 另一方面
$\left| \left| Z \right| \right| = \sqrt{z_1^2 + z_2^2} = \sqrt{\left( \left| s \right| ^{\frac{1}{2}} sign(s)\right)^2 + \nu^2} = \sqrt{\left| s \right| + \nu^2} \geq \sqrt{\left| s \right|} = \left| s \right| ^{\frac{1}{2}} = \left| z_1 \right| \tag{19}$ 由(19)推出
$\left| z_1 \right| = \left| s \right| ^{\frac{1}{2}} \leq \left| \left| Z \right| \right| \Longrightarrow \\ -\frac{1}{ \left| z_1 \right|} \leq - \frac{1}{\left| \left| Z \right| \right|} \tag{20}$ 又根据(16)：
$\begin{aligned} \dot V_0 &= -\frac{1}{ \left| z_1 \right|} Z^T Q Z \leq -\frac{1}{ \left| z_1 \right|} p_{\min}(Q) Z^TZ \\ &= -\frac{1}{ \left| z_1 \right|} p_{\min}(Q) \left| \left| Z \right| \right| ^2 \leq - \frac{1}{\left| \left| Z \right| \right| }p_{\min}(Q) \left| \left| Z \right| \right| ^2 \\ &= -p_{\min}(Q) \left| \left| Z \right| \right| \end{aligned}$ 再根据(18)
$\dot V_0 \leq -p_{\min}(Q) \left| \left| Z \right| \right| \leq -p_{\min}(Q)\frac{V_0^{\frac{1}{2}}}{p_{\max}^{\frac{1}{2}}(P)} = -r V_0 ^{\frac{1}{2}} \tag{21}$ 其中
$\frac{p_{\min}(Q)}{p_{\max}^{\frac{1}{2}}(P)} \tag{22}$
定理2：若系统的李雅普诺夫函数满足
$\dot V \leq - r V ^{\frac{1}{2}}, \qquad \left( r >0 \right)$ 则系统具有稳定性。

3.4 矩阵 Q Q Q的正定性的保证

根据定理2，式(21)保证了系统具有李雅普诺夫稳定性。读者可能注意到，式(21)只有在 $\geq 0$ 的情况下才能保证系统稳定性，而根据式(22)，即需要 $p_{\min}(Q)$ 和 $p_{\max}^{\frac{1}{2}}(P)$ 均大于等于零。由于矩阵 $P$ 为正定的，因此 $p_{\max}^{\frac{1}{2}}(P) > 0$ 立即得证；下面需要保证 $p_{\min}(Q) > 0$ ，即保证矩阵 $Q$ 的正定性。

这里再次列出 $Q$ 的表达式：
$\left[ \begin{matrix} -4 \alpha \varepsilon + \lambda \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) & \qquad -\frac{1}{2}\left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) + \alpha - \lambda \varepsilon \\ -\frac{1}{2}\left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) + \alpha - \lambda \varepsilon & \qquad 2 \varepsilon \end{matrix} \right]$ 不妨直接取
$\alpha = \lambda \varepsilon + \frac{1}{2} \left( \beta + 4 \varepsilon ^2 \right) \tag{23}$ 这样 $Q$ 可以化简为一个对角矩阵
$\left[ \begin{matrix} \left(\lambda - 2 \varepsilon \right) \left( \beta + 4 \varepsilon ^2 \right) - 4 \lambda \varepsilon^2 & \quad 0 \\ 0 & \quad 2 \varepsilon \end{matrix} \right]$ 并能够一眼看出 $Q$ 的特征根为
$p_1(Q) = \left(\lambda - 2 \varepsilon \right) \left( \beta + 4 \varepsilon ^2 \right) - 4 \lambda \varepsilon^2, \\ p_2 (Q) = 2 \varepsilon$ 其中 $p_2 (Q) = 2 \varepsilon > 0$ 立即得证，为保证 $p_1(Q) > 0$ ，需要有
$\lambda > \frac{2 \varepsilon \left( \beta + 4 \varepsilon ^2 \right)}{\beta} \tag{24}$

3.5 李雅普诺夫函数的更新

在3.4一节中给出了保证矩阵 $Q$ 正定性的条件。由于 $\alpha, \lambda$ 两参数是人为给出的，因此需要把这两个因素加入到李雅普诺夫函数中，构建新的李雅普诺夫函数：
$V_0 + \frac{1}{2 \gamma_1} \left( \lambda - \lambda^* \right)^2 + \frac{1}{2 \gamma_2} \left( \alpha - \alpha^* \right)^2 \tag{25}$ 其中 $\lambda^*, \alpha^*$ 为常数（未知）。
对其求导得下式(26)：
$\dot V = \dot V_0 + \frac{1}{\gamma_1} \left( \lambda - \lambda^* \right) \dot \lambda + \frac{1}{\gamma_2} \left( \alpha - \alpha^* \right) \dot \alpha \\ \leq -r V_0 ^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\gamma_1} \left( \lambda - \lambda^* \right) \dot \lambda + \frac{1}{\gamma_2} \left( \alpha - \alpha^* \right) \dot \alpha \\ = -r V_0 ^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\gamma_1} \left( \lambda - \lambda^* \right) \dot \lambda + \frac{1}{\gamma_2} \left( \alpha - \alpha^* \right) \dot \alpha - \frac{\omega_1}{\sqrt{2 \gamma_1}} \left| \lambda - \lambda^* \right| + \frac{\omega_1}{\sqrt{2 \gamma_1}} \left| \lambda - \lambda^* \right| - \frac{\omega_2}{\sqrt{2 \gamma_2}} \left| \alpha - \alpha^* \right| + \frac{\omega_2}{\sqrt{2 \gamma_2}} \left| \alpha - \alpha^* \right| \tag{26}$ 根据 $\left( x^2 + y^2 + z^2 \right)^{\frac{1}{2}} \leq \left| x \right| + \left| y \right| + \left| z \right|$ 有
$V_0 ^{\frac{1}{2}} - \frac{\omega_1}{\sqrt{2 \gamma_1}} \left| \lambda - \lambda^* \right| - \frac{\omega_2}{\sqrt{2 \gamma_2}} \left| \alpha - \alpha^* \right| \leq - \left[ r^2 V_0 + \frac{\omega_1^2}{2 \gamma_1} \left( \lambda - \lambda^* \right)^2 + \frac{\omega_2^2}{2 \gamma_2} \left( \alpha - \alpha^* \right)^2 \right]^{\frac{1}{2}}$ 设 $\omega_1, \omega_2$ 中最小的数为 $\min(r, \omega_1, \omega_2)$ ，则上式为
$V_0 ^{\frac{1}{2}} - \frac{\omega_1}{\sqrt{2 \gamma_1}} \left| \lambda - \lambda^* \right| - \frac{\omega_2}{\sqrt{2 \gamma_2}} \left| \alpha - \alpha^* \right| \leq - \left[ r^2 V_0 + \frac{\omega_1^2}{2 \gamma_1} \left( \lambda - \lambda^* \right)^2 + \frac{\omega_2^2}{2 \gamma_2} \left( \alpha - \alpha^* \right)^2 \right]^{\frac{1}{2}} \\ \leq - n \left[ V_0 + \frac{1}{2 \gamma_1} \left( \lambda - \lambda^* \right)^2 + \frac{1}{2 \gamma_2} \left( \alpha - \alpha^* \right)^2 \right]^{\frac{1}{2}} \\ = -n V^{\frac{1}{2}}$ 于是代入(26)有
$\dot V \leq -r V_0 ^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\gamma_1} \left( \lambda - \lambda^* \right) \dot \lambda + \frac{1}{\gamma_2} \left( \alpha - \alpha^* \right) \dot \alpha - \frac{\omega_1}{\sqrt{2 \gamma_1}} \left| \lambda - \lambda^* \right| + \frac{\omega_1}{\sqrt{2 \gamma_1}} \left| \lambda - \lambda^* \right| - \frac{\omega_2}{\sqrt{2 \gamma_2}} \left| \alpha - \alpha^* \right| + \frac{\omega_2}{\sqrt{2 \gamma_2}} \left| \alpha - \alpha^* \right| \\ \leq -n V^{\frac{1}{2}}+ \frac{1}{\gamma_1} \left( \lambda - \lambda^* \right) \dot \lambda + \frac{1}{\gamma_2} \left( \alpha - \alpha^* \right) \dot \alpha + \frac{\omega_1}{\sqrt{2 \gamma_1}} \left| \lambda - \lambda^* \right| + \frac{\omega_2}{\sqrt{2 \gamma_2}} \left| \alpha - \alpha^* \right| \tag{27}$ 由于 $\lambda^*, \alpha^*$ 为常数，不妨假设恒有 $\lambda^*>\lambda, \alpha^*>\alpha$ 。由于李雅普诺夫稳定性只要证明李雅普诺夫函数存在即可，因此总能找到这样的 $\lambda^*, \alpha^*$ ，该假设是合理的。

此时式(27)为
$\dot V \leq -n V^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\gamma_1} \left( \lambda - \lambda^* \right) \dot \lambda + \frac{1}{\gamma_2} \left( \alpha - \alpha^* \right) \dot \alpha + \frac{\omega_1}{\sqrt{2 \gamma_1}} \left| \lambda - \lambda^* \right| + \frac{\omega_2}{\sqrt{2 \gamma_2}} \left| \alpha - \alpha^* \right| \\ = -n V^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{\gamma_1} \left| \lambda - \lambda^* \right| \dot \lambda - \frac{1}{\gamma_2} \left| \alpha - \alpha^* \right| \dot \alpha + \frac{\omega_1}{\sqrt{2 \gamma_1}} \left| \lambda - \lambda^* \right| + \frac{\omega_2}{\sqrt{2 \gamma_2}} \left| \alpha - \alpha^* \right| \\ = -n V^{\frac{1}{2}} + \left| \lambda - \lambda^* \right| \left( \frac{\omega_1}{\sqrt{2 \gamma_1}} - \frac{ \dot \lambda}{\gamma_1} \right) + \left| \alpha - \alpha^* \right| \left( \frac{\omega_2}{\sqrt{2 \gamma_2}} - \frac{ \dot \alpha}{\gamma_2} \right) \tag{28}$
此时若令
$\dot \lambda = \omega_1 \sqrt{\frac{\gamma_1}{2}} \tag{29}$ 即可使式(28)变为
$\dot V \leq -n V^{\frac{1}{2}} + \left| \alpha - \alpha^* \right| \left( \frac{\omega_2}{\sqrt{2 \gamma_2}} - \frac{ \dot \alpha}{\gamma_2} \right) = -n V^{\frac{1}{2}} + \eta \tag{30}$ 其中
$\eta = \left| \alpha - \alpha^* \right| \left( \frac{\omega_2}{\sqrt{2 \gamma_2}} - \frac{ \dot \alpha}{\gamma_2} \right) \tag{31}$ 根据定理2，式(30)使得系统具有稳定性。

3.6 系统各部分总结

系统具有如下为标准柯西形式：
$\begin{cases} \dot x_1 = x_2 \\ \dot x_2 = f + g \cdot u \end{cases}$ 设计滑模面为
$s = c_1 e_1 + e_2$ 以及控制量 $u$ ：
$g^{-1} \left( -f + \ddot x_d - c_1 e_2 - \lambda \left| s \right| ^{\frac{1}{2}} sign (s) - \alpha \cdot sign(s) \right)$ 并设计自适应律为
$\dot \lambda = \omega_1 \sqrt{\frac{\gamma_1}{2}} \\ \lambda > \frac{2 \varepsilon \left( \beta + 4 \varepsilon ^2 \right)}{\beta} \\ \alpha = \lambda \varepsilon + \frac{1}{2} \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right)$ 则系统具有稳定性：
$\dot V \leq -n V^{\frac{1}{2}} + \eta$

4. 总结

就笔者而言，超螺旋滑模控制内容的精髓在于巧妙设计了状态量 $z_1 = \left| s \right| ^{\frac{1}{2}} sign(s)$ ，使得后续的导数与不等式计算大大简化，很多项可以巧妙消去。此外，尽管在(29)中不等式右边有正数项 $\eta$ 的存在，系统依然可以在一定限度内保持稳定，原因在于我们证明了 $\dot V \leq -n V^{\frac{1}{2}} \leq 0$ 而非传统的 $\dot V \leq 0$ ，这更大程度上能够保证系统稳定性。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-778155.html