拓扑排序
有向无环图一定是拓扑序列,有向有环图一定不是拓扑序列。
无向图没有拓扑序列。
首先我们先来解释一下什么是有向无环图：
有向就是我们两个结点之间的边是有方向的，无环的意思就是整个序列中没有几个结点通过边形成一个圆环。
下图就是一个有向无环图，它也一定是拓扑序列。
下图就是有向有环图：
拓扑序列：
首先我们引入度的概念：
对于有向图每个结点都有入度和出度，入度就是指向该结点的边数，出度就是该结点指向其他结点的边数。
如第一个图：
A的入度为0，出度为2；
B的入度为1，出度为1；
C的入度为1，出度为1；
D的入度为2，出度为0；
总结一下拓扑排序就是只有从前指向后的边，没有从后指向前的边。
如果是一个有向无环图，那么一定有一个点的入度为0，如果找不到一个入度为0的点，这个图一定是带环的。
拓扑排序满足：每条边(x,y)，x在序列中都在y前面。
拓扑排序的思路：
一个有向图，如果图中有入度为 0 的点，就把这个点删掉，同时也删掉这个点所连的边。
一直进行上面出处理，如果所有点都能被删掉，则这个图可以进行拓扑排序。
我们画图来解释一下：
首先我们的有向无环图是这样的：
我们发现A的入度为0，那么A就可以作为源点（不会有边在它前面），然后删除A和A上所连的边，如下图：
然后我们发现B和C的入度都是0，那么同样删除B，C和B，C上所连的边，如下图：
然后D的入度为0，我们同样操作，最后图被删除干净，证明可以拓扑排序。
解题思路
首先记录各个点的入度
然后将入度为 0 的点放入队列
将队列里的点依次出队列，然后找出所有出队列这个点发出的边，删除边，同时边的另一侧的点的入度 -1。
如果所有点都进过队列，则可以拓扑排序，输出所有顶点。否则输出-1，代表不可以进行拓扑排序。
我们先来看一下拓扑排序的模板：
时间复杂度 O(n+m), n表示点数，m表示边数。
bool topsort()
{
int hh = 0, tt = -1;
// d[i] 存储点i的入度
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
if (!d[i])
q[ ++ tt] = i;
while (hh <= tt)
{
int t = q[hh ++ ];
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (-- d[j] == 0)
q[ ++ tt] = j;
}
}
// 如果所有点都入队了，说明存在拓扑序列；否则不存在拓扑序列。
return tt == n - 1;
}
我们来看一下练习题：文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-779184.html
文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-779184.html
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int h[N],e[N],ne[N],idx; //邻接表存储图
int n,m; //n个点，m个边
int q[N],d[N];//q表示队列,d表示点的入度
void add(int a,int b)
{
e[idx]=b;
ne[idx]=h[a];
h[a]=idx++;
}
bool topsort()
{
int hh=0,tt=-1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(!d[i])//如果i这个点的入度为0，那么我们就入队
q[++tt]=i;
}
while(hh<=tt) //如果队列不为空
{
int t=q[hh++];//用t来接收队头的元素，同时队头指针hh++；
for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i])//我们来从t结点开始遍历它的边
{
int j=e[i];//t有一条边指向j
d[j]--;//删除掉t指向j的这条边，j的入度-1；
if(d[j]==0) //如果j的入度为0，那么我们就将j入队
q[++tt]=j;
}
}
return tt==n-1;
//表示如果n个点都入队了话,那么该图为拓扑图,返回true,否则返回false
//我们的tt初始值是-1，当插入一个值的时候tt先++在插入，所以我们一个有n个结点，全部入队的话tt指针应该是n-1；
}
int main()
{
cin>>n>>m;//保存点的个数和边的个数
memset(h,-1,sizeof(h));//初始化邻接表
for(int i=0;i<m;i++)//我们一共有m个边，所以我们循环插入边
{
int a,b;
scanf("%d%d",&a,&b);
add(a,b);
d[b]++;//插入的边是由a指向b的，所以b的入度++；
}
if(topsort())
{
for(int i=0;i<n;i++)
printf("%d ",q[i]);
puts("");
}
else
puts("-1");
return 0;
}
到了这里，关于拓扑排序 （算法思想+图解+模板+练习题）的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
