【高等数学】多元函数-连续可导可微（定义+证明+记忆方法）-Toy模板网

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多元函数-连续偏导可微

定义

1.连续定义

设二元函数 $f (P) = f (x, y)$ 的定义域为D, $P_0(x_0,y_0)$ 为D的聚点，且 $P_0 \in D$ ,若

$\displaystyle lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y) = f(x_0,y_0)$

则称函数 $f (x, y)$ 在 $P_0$ 连续

聚点：如果给定任意的 $\delta > 0$ ，点P的去心领域 $U(P,\delta)$ 内总有E的点，那么称P是E的聚点

2.偏导定义

设函数 $z = f (x, y)$ 在点 $x_0,y_0)$ 的某一领域内有定义，当 $y$ 固定在 $y_0$ ，而x在 $x_0$ 处有增量 $\Delta x$ 时，相应的函数有增量

$\displaystyle f(x_0+\Delta x,y_0) - f(x_0,y_0)$

如果

$\displaystyle lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x,y_0) - f(x_0,y_0)}{\Delta x}$

存在，那么称此极限为函数 $z = f (x, y)$ 在点 $x_0,y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数，记作

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}|_{x=x_0,y=y_0}$ , $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}|_{x=x_0,y=y_0}$ , $\displaystyle \frac{Z_x}{\partial x}|_{x=x_0,y=y_0}$ 或 $f_x(x_0,y_0)$

3.可微定义

设函数 $z = f (x, y)$ 在点 $(x, y)$ 的某领域内有定义，如果函数在 $(x, y)$ 的全增量

$\Delta z = f(x+\Delta x, y+\Delta y) - f(x,y)$

可表示为

$\Delta z = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho)$

其中A和B不依赖于 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 而仅与x和y有关， $\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 +\Delta y)^2}$ ，那么称函数 $z = f (x, y)$ 在点 $(x, y)$ 可微分，而 $A\Delta x + B\Delta y$ 称为函数 $z = f (x, y)$ 在点 $(x, y)$ 的全微分，记作 $d z$ ，即

$A\Delta x + B\Delta y$

2.三者关系

多元函数可微的定义,几何学

3.关系证明

3.1 偏导和连续

可导不一定连续

对于不成立的推导，我们只需举出一个反例即可

$\displaystyle f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2} & (x,y) ≠ (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$

由于

$\displaystyle f'_x(0,0) = lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(\Delta x,0) - f(0,0)}{\Delta x} = lim_{\Delta x\to 0}\frac{0-0}{\Delta x} = 0$

同理 $\displaystyle f'_y(0,0) = 0$ , 故 $(0, 0)$ 点可导, 设点P为聚点，当点P沿着平行于 $y = k x$ 的方向趋于与 $(0, 0)$ 时，

$\displaystyle lim_{ x \to 0, y \to kx} = lim_{ x \to 0}\frac{kx^2}{x^2 + k^2x^2} = \frac{k}{1+k^2}$

该极限不存在，则 $f (x, y)$ 在 $(0, 0)$ 点不连续
连续不一定可导

对于不成立的推导，我们只需举出一个反例即可

$\displaystyle f(x,y) = |x| + |y|$

由 $lim_{x\to0,y\to0}f(x,y) = lim_{x\to0,y\to0}(|x|+|y|) = 0 = f(0,0)$ ,知 $f (x, y)$ 在 $(0, 0)$ 点连续

而 $f (x, 0) = ∣ x ∣$ 在 $x = 0$ 处不可导，则 $f_x'(0,0)$ 不存在，由对称性知 $f_y'(0,0)$ 也不存在，故函数不可导

3.2 可微和偏导

可微一定偏导

设函数 $z = f (x, y)$ 在点 $P (x, y)$ 可微分，于是对于点P的某个领域内的任意一点 $P'(x+\Delta x,y+\Delta y)$ 式

$\Delta z = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho)$

总成立。特别的,当 $\Delta y = 0$ 时， $p=|\Delta x|$ ，所以上式成为

$f(x+\Delta x, y) - f(x,y) = A\Delta x + o(|\Delta x|)$

上式两边各除 $\Delta x$ ，再令 $\Delta \to 0$ 而取极限，就得

$\displaystyle lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x, y) - f(x,y)}{\Delta x} = A$

从而偏导数 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$ 存在，且等于A，同理可证 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = B$ ，证毕
偏导不一定可微

对于不成立的推导，我们只需举出一个反例即可

$\displaystyle f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} & (x,y) ≠ (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$

由于

$\displaystyle f'_x(0,0) = lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(\Delta x,0) - f(0,0)}{\Delta x} = lim_{\Delta x\to 0}\frac{0-0}{\Delta x} = 0$

同理 $\displaystyle f'_y(0,0) = 0$ , 故 $(0, 0)$ 点可导，但

$\displaystyle lim_{\Delta x \to 0,\Delta y \to 0}\frac{[f(\Delta x,\Delta y) - f(0,0)] - [f_x'(0,0)\Delta x + f_y'(0,0)\Delta y]}{\rho} = lim_{\Delta x \to 0,\Delta y \to 0}\frac{\Delta x \Delta y}{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$

设 $\displaystyle g(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$ , 设点P为聚点，当点P沿着平行于 $y = k x$ 的方向趋于与 $(0, 0)$ 时，

$\displaystyle lim_{ x \to 0, y \to kx} = lim_{ x \to 0}\frac{kx^2}{x^2 + k^2x^2} = \frac{k}{1+k^2}$ ,该极限不存在，则 $f (x, y)$ 在 $(0, 0)$ 点不可微

3.3 可微和连续

可微一定连续

若 $z = f (x, y)$ 在点 $(x, y)$ 可微分，那么由微分的定义有

$lim_{\rho \to 0}\Delta z = 0$

从而

$lim_{\Delta x \to 0,\Delta y \to 0}= f(x+\Delta x, y+\Delta y) = lim_{\rho \to 0}[f(x,y) + \Delta z] = f(x,y)$

因此 $z = f (x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处连续
连续不一定可微

同上举反例即可

$\displaystyle f(x,y) = |x| + |y|$

由3.1.2知 $f (x, y)$ 在 $(0, 0)$ 点连续且函数不可导，而因为偏导存在是全微分的必要条件, 因此也不可微

4.记忆方法

多元函数可微的定义,几何学

与一元函数连续可导可微对比记忆即可(一元函数关系可参考笔者上一篇文章), 两者的区别在于

多元函数偏导(可导)推不出连续
多元函数偏导(可导)推不出可微

其余部分都相同,那么为什么二元函数偏导推不出连续和可微呢? 下面从几何角度证明

函数可导,即偏导数 $f_x(x_0,y_0)$ , $f_y(x_0,y_0)$ 存在

而 $f_x(x_0,y_0)$ 本质上是 $f(x,y_0)$ 函数的导数,把 $y$ 用 $y_0$ 代进去,现在只有 $x$ 在变化,而 $x$ 在变化的时候,只能在 $y=y_0$ 的线上变化, 如下图 $f_x(x,y_0)$

这说明这点偏导数只跟这个二元函数沿 $y=y_0$ 这条线上函数值有关

同理,代入 $x_0$ ,这点的另一个偏导数只跟二元函数沿 $x=x_0$ 这条线上函数值有关, 如下图 $f_y(x_0,y)$

多元函数可微的定义,几何学

以上说明两个偏导数只跟过 $x_0,y_0)$ 点平行于两个坐标轴的十字线有关.

但连续是要求动点以任意方式趋向 $x_0,y_0)$ 的极限等于 $x_0,y_0)$ 点函数值 $f(x_0,y_0)$ .

故十字线上的函数值决定不了函数的重极限

同理,决定不了全微分文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-780858.html

5.参考文章

高等数学第七版下册
武忠详辅导讲义

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【高等数学】多元函数-连续可导可微（定义+证明+记忆方法）

多元函数-连续偏导可微

定义

1.连续定义

2.偏导定义

3.可微定义

2.三者关系

3.关系证明

3.1 偏导和连续

3.2 可微和偏导

3.3 可微和连续

4.记忆方法

5.参考文章

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多元函数-连续 偏导 可微

定义

1.连续定义

2.偏导定义

3.可微定义

2.三者关系

3.关系证明

3.1 偏导和连续

3.2 可微和偏导

3.3 可微和连续

4.记忆方法

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