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算法入门刷题训练

题目AB37：最长上升子序列(一)

题目分析

描述
给定一个长度为 n 的数组 arr，求它的最长严格上升子序列的长度。
所谓子序列，指一个数组删掉一些数（也可以不删）之后，形成的新数组。例如 [1,5,3,7,3] 数组，其子序列有：[1,3,3]、[7] 等。但 [1,6]、[1,3,5] 则不是它的子序列。
我们定义一个序列是严格上升的，当且仅当该序列不存在两个下标 i 和 j 满足 i<j 且 arr i ≥ arr j.

这道题目与上一篇【算法面试入门必刷】动态规划-线性dp（三）中练习的连续子数组最大和有个不同就是，要求的子数组不是连续的。因此可以定义动态规划数组dp[i] 表示以第i个数字为结尾的最长连续子序列的长度。从而推导出递推公式：dp[i] = maxLength + 1，其中maxLength表示从下标0到i-1中dp数组最大值（最大的连续子序列的长度）。

理论准备

任何算法都有相对应的算法模板或者有规律的解题步骤。对于动态规划来讲，做DP相关的算法题要熟练掌握下面DP解题步骤，这样有助于在面对到各种各样的题目时能够提高解题效率：

DP解题步骤:

首先要确定dp数组：是一维，二维还是三维；以及下标的含义是什么？

根据确定好的dp数组，给出递推公式，也叫状态转移方程。

确定dp数组是否需要初始化，初始化为多少。

确定遍历的顺序；这一步在背包相关的DP题目中非常重要。

根据测试用例进行验证

题解

具体的解决方案如下：

首先确定dp数组：是一维，二维还是三维；以及下标的含义是什么？

// 这里使用一维dp
// dp[i] 表示以第i个数字为结尾的最长连续子序列的长度
vector<int> dp(n);

根据确定好的dp数组，给出递推公式。

// 根据题目分析得出了以下递推公式：
// dp[i] = maxLength + 1，其中maxLength表示从下标0到i-1中dp数组最大值（当前值之前的最大的连续子序列的长度）。
int maxValue{}; 
// 求得从下标0到下标i-1中dp值的最大值
for(int j{};j<i;++j){
    // 当当前值大于v[j]，才进行dp[j]的判断
    if(v[i] > v[j]){
        maxValue = max(maxValue,dp[j]);
    }
}
// 然后dp[i]就等于之前的最大的连续子序列的长度加上当前数值
dp[i] = maxValue + 1;

确定dp数组是否需要初始化，初始化为多少。

// 根据dp[i]的定义，子序列的最短长度都是本身即1
vector<int> dp(n,1);

确定遍历的顺序；这一步在背包相关的DP题目中非常重要。

// 本题从小到大遍历i
for(int i{1};i<n;++i){
	int maxValue{};
	// 内部从小到大，从大到小都可以
    for(int j{};j<i;++j){
        if(v[i] > v[j]){
            maxValue = max(maxValue,dp[j]);
        }
    }    
}

根据测试用例进行验证：选择所有的测试用例带入验证即可。
完整代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    
    vector<int> v(n);
    for(int i{};i<n;++i) cin >> v[i];
    
    // dp[i] 表示以第i个数字为结尾的最长连续子序列的长度
    vector<int> dp(n,1);
    int result{};
    for(int i{1};i<n;++i){
        int maxValue{};
        for(int j{};j<i;++j){
            if(v[i] > v[j]){
                maxValue = max(maxValue,dp[j]);
            }
        }
        
        dp[i] = maxValue + 1;
        
        if(dp[i] > result) result = dp[i];
    }
    
    cout << result << endl;
    return 0;
}
// 64 位输出请用 printf("%lld")
// 64 位输出请用 printf("%lld")