球从楼梯弹起的数学原理用数学建模运动的美妙之处(教程含R语言源码)-Toy模板网

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我最近解决了这个应用数学问题，并对答案的美妙感到非常高兴，所以我想我会分享我的解决方法。

该问题涉及一个粒子从楼梯顶部发射并逐渐向下弹跳，撞击每个台阶一次。这是我们在日常生活中见过的经典动作，因此用数学对其进行建模是一项有趣的挑战。当然，我们将在这里使用经典力学，我们将忽略空气阻力和摩擦力等杂乱的东西，所以答案有点理想化，但我认为仍然非常漂亮。

问题

直楼梯由N 个平滑的水平楼梯组成，每个楼梯的高度为h ，高于下一个楼梯。粒子以速度U滑过顶部楼梯，速度垂直于楼梯边缘，然后从楼梯上落下，在每个楼梯上弹跳一次。粒子与每个阶梯之间的恢复系数为e，其中e﹤ 1。

求第 n次和第(n+1)次反弹之间行进的水平距离的表达式
如果N非常大且L是楼梯每级台阶的长度，请找到U的表达式。

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这是我绘制的问题的初始图表。绘制一个好的图表始终是解决此类经典力学问题的最佳方法。

我的图表对粒子沿着楼梯前进时的水平速度和垂直速度进行了重要区分。由于重力和恢复（弹跳）是此问题中唯一起作用的外力，并且由于它们都垂直作用，因此我们可以得出结论，粒子的水平速度始终为U。每一步弹跳点的垂直速度记为v_n。

因此解决这个问题的关键是：

通过研究粒子的垂直运动，了解粒子从第n次弹跳移动到第 ( n+1)次弹跳所需的时间t_n 。
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