26对称矩阵及正定性

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了26对称矩阵及正定性。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

一、知识概要

本节从对称矩阵的特征值,特征向量入手,介绍对称矩阵在我们之前学习的一些内容上的特殊性质。并借此引出了正定矩阵。

二、对称矩阵

正如我们之前学习的很多特殊矩阵一样(如马尔科夫矩阵),对称矩阵也有许多特殊性质。而我们之前注意到,一个矩阵很多性质的特殊性体现在特征值与特征向量上,而对于对称矩阵,我们从特征值也特征向量的特殊性开始入手。直接给出性质,对称矩阵满足:
(1)A = 𝑨𝑻
(2)有正交的特征向量

注:其中(2)指的是可以“挑选出”一组垂直的特征向量,因为对于特征值重复的情况来说,这时会有一整个平面的特征向量,那么我们只要选其中垂直的一组向量就行,此时定理“有正交的特征向量”仍满足。而对于特征值不重复的情况,其对应的特征向量相互垂直。

2.1 对称矩阵的分解
已知上面两个性质,我们就能看出来对称矩阵的很多特点了,比如:由(2)这个性质,它的特征向量必然全部线性无关,而这正是矩阵可被对角化的前提条件。于是我们根据矩阵对角化的知识:
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所以,给定一个对称矩阵,我们就可以将其分解成上面的这种形式。这在力学上被称为主轴定理,它意味着如果给定某种材料,在合适的轴上来看,它就会变成对角化的,方向就不会重复。而在数学上,这被称为“谱定理”。

2.2 对称矩阵的特征值
还记得之前介绍的旋转矩阵,其中有的对应值会造成特征值为虚数的情况,但是对于对称矩阵来说,这种情况是不会发生的,即:**对称矩阵特征值均为实数。**那么为什么对称矩阵的特征值是实数?

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接下来,在知道了其特征值为实数之后,下面我们还需要探究其是正数还是负数
(1) 对称矩阵的主元正负个数与特征值的正负个数对应一致。
正主元个数 = 正特征值个数
负主元个数 = 负特征值个数
(2)对称矩阵的主元的乘积等于特征值的乘积(它们都等于矩阵行列式的值)
2.3 对称矩阵的另一种理解
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于是就有对于谱定理的另一理解角度:每一个对称矩阵都是一些互相垂直的投影矩阵的线性组合。

三、正定矩阵简介

这一节中提前渗透一些正定矩阵的内容,了解即可,27,28 课会时对正定矩阵会进行详细叙述。
所谓正定矩阵就是一类对称矩阵,满足:
(1)所有的特征值是正数
(2)所有主元为正
(3)所有的子行列式都为正

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四、学习感悟

本节从对称矩阵入手,介绍了对称矩阵的一些基本性质,进而引出了正定矩阵。我们可以看到,正定矩阵将矩阵的特征值,主元,行列式都联系到了一起,这样一来很多东西就被大大简化了,之后学习正定矩阵时,我们会更好的体会到这一点。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-784175.html

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