【矩阵论】3. 矩阵函数——矩阵函数求导

矩阵论的所有文章，主要内容参考北航赵迪老师的课件

[注]由于矩阵论对计算机比较重要，所以选修了这门课，但不是专业搞数学的，所以存在很多口语化描述，而且对很多东西理解不是很正确与透彻，欢迎大家指正。我可能间歇性忙，但有空一定会回复修改的。

矩阵论
1. 准备知识——复数域上矩阵,Hermite变换
1.准备知识——复数域上的内积域正交阵
1.准备知识——Hermite阵，二次型，矩阵合同，正定阵，幂0阵，幂等阵，矩阵的秩
2. 矩阵分解——SVD准备知识——奇异值
2. 矩阵分解——SVD
2. 矩阵分解——QR分解
2. 矩阵分解——正定阵分解
2. 矩阵分解——单阵谱分解
2. 矩阵分解——正规分解——正规阵
2. 矩阵分解——正规谱分解
2. 矩阵分解——高低分解
3. 矩阵函数——常见解析函数
3. 矩阵函数——谱公式,幂0与泰勒计算矩阵函数
3. 矩阵函数——矩阵函数求导
4. 矩阵运算——观察法求矩阵特征值特征向量
4. 矩阵运算——张量积
4. 矩阵运算——矩阵拉直
4.矩阵运算——广义逆——加号逆定义性质与特殊矩阵的加号逆
4. 矩阵运算——广义逆——加号逆的计算
4. 矩阵运算——广义逆——加号逆应用
4. 矩阵运算——广义逆——减号逆
5. 线性空间与线性变换——线性空间
5. 线性空间与线性变换——生成子空间
5. 线性空间与线性变换——线性映射与自然基分解,线性变换
6. 正规方程与矩阵方程求解
7. 范数理论——基本概念——向量范数与矩阵范数
7.范数理论——基本概念——矩阵范数生成向量范数&谱范不等式
7. 矩阵理论——算子范数
7.范数理论——范数估计——许尔估计&谱估计
7. 范数理论——非负/正矩阵
8. 常用矩阵总结——秩1矩阵，优阵(单位正交阵)，Hermite阵
8. 常用矩阵总结——镜面阵，正定阵
8. 常用矩阵总结——单阵，正规阵，幂0阵，幂等阵，循环阵

3.6 矩阵函数求导

3.6.1 积分与求导定义

设 $m\times n$ 阶矩阵 $A(x)={\left(a_{ij}(x)\right)}_{m\times n}$ 中的元素都是 x 的可导函数，则 $A(x)$ 为关于 $x$ 的求导为：
$$A^{\prime }(x)=\frac{dA(x)}{dx}={\left(\frac{d{a}_{ij}(x)}{dx}\right)}_{m\times n}$$

设 $A(x)={\left(a_{ij}(x)\right)}_{m\times n}$ 的元素在区间 $[a,b]$ 连续，在区间 $[a,b]$ 上的积分记为
$${\int }_a^{b}A(x)dx={\int }_a^b{\left(a_{ij}(x)dx\right)}_{m\times n}$$
eg

3.6.2 运算性质

1. 若 $A^{\prime }(x)=\frac{dA(x)}{dx}\equiv 0$ $⟺$ $A(x)=D(常数矩阵)$

2. 求和求导：设 $A(x)=(a_{ij}(x){)}_{n\times n}$ ，$B(x)=(b_{ij}(x){)}_{n\times n}$ 在区间 $[a,b]$ 可到，则有 $\frac{d(A(x)+B(x))}{dx}=\frac{dA(x)}{dx}+\frac{dB(x)}{dx}=A^{\prime }(x)+B^{\prime }(x)$

3. 乘积求导：

   

4. 参数化：

   

5. 求和积分：
   

6. 积分倍乘：
   

7. 

8. N-L公式
   

9. 逆阵求导：
   

3.6.3 讨论含参阵的求导

3.6.4 3个含参矩阵函数的求导

对于三个矩阵函数 $f(tA)=e^{tA},cos(tA),sin(tA)$ ，设方阵 $A\in C^{n\times n}$ ，则有求导公式
$$\begin{array}{rl}& \frac{d{e}^{tA}}{dt}=A{e}^{tA}\\ & \frac{d(sin(tA))}{dt}=Acos(tA)\\ & \frac{dcos(tA)}{dt}=-Asin(tA)\end{array}$$

SP

$$\begin{array}{rl}& \frac{d{e}^{-tA}}{dt}=-A{e}^{-tA}\\ & \frac{d[e^{-tA}X(t)]}{dt}=X^{\prime }(t)e^{-tA}-AX(t)e^{-tA}\end{array}$$

由欧拉公式

$$\begin{gathered} e^{tx}=costx+isintx,e^{-tx}=costx-isintx \\ cos(tx)=\frac{e^{itx}+e^{-itx}}{2},sin(tx)=\frac{e^{itA}-e^{-itA}}{2i} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{dcos(tA)}{dt}=\frac{1}{2}(e^{itA}iA-iA{e}^{-itA})=\frac{i^2}{2i}A(e^{itA}-e^{-itA})=-\frac{e^{itA}-e^{-itA}}{2i}A=-Asin(tA) \\ \frac{dsin(tA)}{dt}=\frac{1}{2i}(e^{itA}iA+iA{e}^{-itA})=\frac{i}{2i}A(e^{itA}+e^{-itA})=\frac{e^{itA}+e^{-itA}}{2}A=Asin(tA) \end{gathered}$$

3.6.5 对于 W ( t ) = f ( t A ) W(t)=f(tA) W(t)=f(tA) 求导

若已知 $W(t)=f(tA)$ ，两边求导 $\frac{df(tA)}{dt}=\frac{dW(t)}{dt}\Rightarrow W^{\prime }(t)=A{f}^{\prime }(tA)$

• 令 $t=0$ ，可得 $W^{\prime }(0)=f^{\prime }(0)A$

若 $W(t)=e^{tA}$ ，两边求导 $\frac{dW(t)}{dt}=\frac{d(e^{tA})}{dt}\Rightarrow W^{\prime }(t)=A{e}^{tA}$

• 令 $t=0$ ，可得 $W^{\prime }(0)=A$

eg

$$\begin{array}{rl}& \frac{d{e}^{tA}}{dt}=\left(\begin{array}{cc}(cosat{)}^{\prime }& (-sinat{)}^{\prime }\\ (sinat{)}^{\prime }& (cosat{)}^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-asinat& -acosat\\ acosat& -asinat\end{array}\right)\\ & 令t=0,得A=\left(\begin{array}{cc}0& -a\\ a& 0\end{array}\right)\end{array}$$

令 e t A = e 2 t B , 则 ( e t A ) ′ = ( e 2 t B ) ′ = 2 e 2 t B + e 2 t B ′ = 2 e 2 t ( 1 0 0 t 1 − t t t − t 1 + t ) + e 2 t ( 0 0 0 1 − 1 1 1 − 1 1 ) = e 2 t ( 2 0 0 2 t + 1 1 − 2 t 2 t + 1 2 t + 1 − 2 t − 1 3 + 2 t ) 由于 ( e t A ) ′ = A e t A , 若 t = 0 ，可得 A = ( e t A ) ′ , 代入的 A = ( 2 0 0 1 1 1 1 − 1 3 ) \begin{aligned} &令e^{tA}=e^{2t}B,则(e^{tA})'=(e^{2t}B)'=2e^{2t}B+e^{2t}B'=2e^{2t}\left( \begin{matrix} 1&0&0\\t&1-t&t\\t&-t&1+t \end{matrix} \right)+e^{2t}\left( \begin{matrix} 0&0&0\\1&-1&1\\1&-1&1 \end{matrix} \right)\\ &=e^{2t}\left( \begin{matrix} 2&0&0\\2t+1&1-2t&2t+1\\2t+1&-2t-1&3+2t \end{matrix} \right)\\ &由于(e^{tA})'=Ae^{tA},若t=0，可得A=(e^{tA})',代入的A=\left( \begin{matrix} 2&0&0\\1&1&1\\1&-1&3 \end{matrix} \right) \end{aligned} ​令etA=e2tB,则(etA)′=(e2tB)′=2e2tB+e2tB′=2e2t ​1tt​01−t−t​0t1+t​ ​+e2t ​011​0−1−1​011​ ​=e2t ​22t+12t+1​01−2t−2t−1​02t+13+2t​ ​由于(etA)′=AetA,若t=0，可得A=(etA)′,代入的A= ​211​01−1​013​ ​​

3.7 一阶线性常系数微分方程组

对于一阶线性常系数微分方程，有 { d x 1 ( t ) d t = a 11 x 1 ( t ) + ⋯ + a 1 n x n ( t ) + f 1 ( t ) ⋮ d x n ( t ) d t = a n 1 x 1 ( t ) + ⋯ + a n n x n ( t ) + f n ( t ) , 满足 x i ( t 0 ) = c i , i = 1 , ⋯   , n 若令 A = ( a i j ) n × n , c ⃗ = ( c 1 ⋮ c n ) ， x ( t ) = ( x 1 ( t ) x 2 ( t ) ⋮ x n ( t ) ) , f ( t ) = ( f 1 ( t ) ⋮ f n ( t ) ) 可表示为 { d x ( t ) d t = A x ( t ) + f ( t ) x ( t = 0 ) = c ⃗ , 其中 f ( t ) 为非齐次项 若 f ( t ) = ( f 1 ( t ) ⋮ f n ( t ) ) = 0 ⃗ , 可得齐次微分方程， { d x ( t ) d t = A x ( t ) x ( t = 0 ) = c ⃗ \begin{aligned} &对于一阶线性常系数微分方程，有\left\{ \begin{aligned} \frac{dx_1(t)}{dt}&=a_{11}x_1(t)+\cdots+a_{1n}x_n(t)+f_1(t)\\ &\vdots\\ \frac{dx_n(t)}{dt}&=a_{n1}x_1(t)+\cdots+a_{nn}x_n(t)+f_n(t)\\ \end{aligned} \right. ,满足x_i(t_0)=c_i,i=1,\cdots,n\\ &若令A=\left(a_{ij}\right)_{n\times n},\vec{c}=\left( \begin{matrix} c_1\\\vdots\\c_n \end{matrix} \right)，x(t)=\left( \begin{matrix} x_1(t)\\x_2(t)\\\vdots\\x_n(t) \end{matrix} \right),f(t)=\left( \begin{matrix} f_1(t)\\\vdots\\f_n(t) \end{matrix} \right)\\ &可表示为\left\{ \begin{aligned} &\frac{dx(t)}{dt}=Ax(t)+f(t)\\ &x(t=0)=\vec{c} \end{aligned} \right.,其中f(t)为非齐次项\\ &若f(t)=\left( \begin{matrix} f_1(t)\\\vdots\\f_n(t) \end{matrix} \right)=\vec{0},可得齐次微分方程，\left\{ \begin{aligned} &\frac{dx(t)}{dt}=Ax(t)\\ &x(t=0)=\vec{c} \end{aligned} \right. \end{aligned} ​对于一阶线性常系数微分方程，有⎩ ⎨ ⎧​dtdx1​(t)​dtdxn​(t)​​=a11​x1​(t)+⋯+a1n​xn​(t)+f1​(t)⋮=an1​x1​(t)+⋯+ann​xn​(t)+fn​(t)​,满足xi​(t0​)=ci​,i=1,⋯,n若令A=(aij​)n×n​,c = ​c1​⋮cn​​ ​，x(t)= ​x1​(t)x2​(t)⋮xn​(t)​ ​,f(t)= ​f1​(t)⋮fn​(t)​ ​可表示为⎩ ⎨ ⎧​​dtdx(t)​=Ax(t)+f(t)x(t=0)=c ​,其中f(t)为非齐次项若f(t)= ​f1​(t)⋮fn​(t)​ ​=0 ,可得齐次微分方程，⎩ ⎨ ⎧​​dtdx(t)​=Ax(t)x(t=0)=c ​​

$$若\frac{dA(t)}{dt}=A^{\prime }(t)\equiv 0,则A(t)\equiv 0$$

3.7.1 求解齐次方程组

a. 一阶微分

$$齐次方程组\frac{dA(t)}{dt}=Ax有唯一解公式:x=e^{At}c，即x=e^{At}x(0)$$

eg

( 1 ) 求 e t A A − I = ( − 4 4 2 − 2 2 1 − 2 2 1 ) = ( 2 1 1 ) ( − 2 , 2 , 1 ) , r ( A − I ) = 1 , 且 λ ( A − I ) = { − 1 , 0 , 0 } ⇒ λ ( A ) = { 0 , 1 , 1 } 对于 2 重根 λ 2 = 1 , 有 r ( A − I ) = 3 − 2 = 1 , 故 A 为单阵 A 有谱分解， A = λ 1 G 1 + λ 2 G 2 ，令 f ( x ) = e t x , f ( λ 1 ) = e 0 = 1 , f ( λ 2 ) = e t ⋅ 1 = e t , G 1 = A − λ 2 I λ 1 − λ 2 = I − A , G 2 = A − λ 1 I λ 2 − λ 1 = A e t A = f ( λ 1 ) G 1 + f ( λ 2 ) G 2 = G 1 + e t G 2 = I − A + e t A = I + ( e t − 1 ) A = ( 4 − 3 e t 4 e t − 4 2 e t − 2 2 − 2 e t 3 e t − 2 e t − 1 2 − 2 e t 2 e t − 2 2 e t − 1 ) ( 2 ) 求齐次线性方程的解 X = e t A c ⃗ = ( 4 − 3 e t 4 e t − 4 2 e t − 2 2 − 2 e t 3 e t − 2 e t − 1 2 − 2 e t 2 e t − 2 2 e t − 1 ) ( 0 1 0 ) = ( 4 e t − 4 3 e t − 2 2 e t − 2 ) ( 3 ) 代入 t = 0 检验 , X ( 0 ) = ( 0 1 0 ) = c ⃗ \begin{aligned} &(1)求e^{tA}\\ &A-I=\left( \begin{matrix} -4&4&2\\-2&2&1\\-2&2&1 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 2\\1\\1 \end{matrix} \right)(-2,2,1),r(A-I)=1,且\lambda(A-I)=\{-1,0,0\}\Rightarrow \lambda(A)=\{0,1,1\}\\ &对于2重根\lambda_2=1,有r(A-I)=3-2=1,故A为单阵\\ &A有谱分解，A=\lambda_1G_1+\lambda_2G_2，令f(x)=e^{tx},f(\lambda_1)=e^{0}=1,f(\lambda_2)=e^{t\cdot1}=e^t,G_1=\frac{A-\lambda_2I}{\lambda_1-\lambda_2}=I-A,G_2=\frac{A-\lambda_1I}{\lambda_2-\lambda_1}=A\\ &e^{tA}=f(\lambda_1)G_1+f(\lambda_2)G_2=G_1+e^tG_2=I-A+e^tA=I+(e^t-1)A=\left( \begin{matrix} 4-3e^t&4e^t-4&2e^t-2\\2-2e^t&3e^t-2&e^t-1\\2-2e^t&2e^t-2&2e^t-1 \end{matrix} \right)\\ &(2)求齐次线性方程的解X=e^{tA}\vec{c}=\left( \begin{matrix} 4-3e^t&4e^t-4&2e^t-2\\2-2e^t&3e^t-2&e^t-1\\2-2e^t&2e^t-2&2e^t-1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0\\1\\0 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 4e^t-4\\3e^t-2\\2e^t-2 \end{matrix} \right)\\ &(3)代入t=0检验,X(0)=\left( \begin{matrix} 0\\1\\0 \end{matrix} \right)=\vec{c} \end{aligned} ​(1)求etAA−I= ​−4−2−2​422​211​ ​= ​211​ ​(−2,2,1),r(A−I)=1,且λ(A−I)={−1,0,0}⇒λ(A)={0,1,1}对于2重根λ2​=1,有r(A−I)=3−2=1,故A为单阵A有谱分解，A=λ1​G1​+λ2​G2​，令f(x)=etx,f(λ1​)=e0=1,f(λ2​)=et⋅1=et,G1​=λ1​−λ2​A−λ2​I​=I−A,G2​=λ2​−λ1​A−λ1​I​=AetA=f(λ1​)G1​+f(λ2​)G2​=G1​+etG2​=I−A+etA=I+(et−1)A= ​4−3et2−2et2−2et​4et−43et−22et−2​2et−2et−12et−1​ ​(2)求齐次线性方程的解X=etAc = ​4−3et2−2et2−2et​4et−43et−22et−2​2et−2et−12et−1​ ​ ​010​ ​= ​4et−43et−22et−2​ ​(3)代入t=0检验,X(0)= ​010​ ​=c ​

令 A = ( 3 − 1 1 1 ) , X = ( x y ) , 可写方程 d X d t = A X , 通解公式为 X = e t A c ⃗ , c ⃗ t = 0 = ( c 1 c 2 ) ( 1 ) A 为行和矩阵， λ ( A ) = { 2 , t r ( A ) − 2 } = { 2 , 2 } , A − 2 I = ( 1 − 1 1 − 1 ) , r ( A − 2 I ) = 1 ≠ 2 − 2 = 0 A 不是单阵， ( A − 2 I ) 2 = 0 , 故由平移幂 0 阵可写解析函数 f ( x ) = f ( 2 ) + f ′ ( 2 ) ( A − 2 I ) 矩阵函数为 f ( A ) = f ( 2 ) I + f ′ ( 2 ) ( A − 2 I ) 令 f ( A ) = e t x , f ( 2 ) = e 2 t , f ′ ( 2 ) = t e 2 t , 则 e t A = e 2 t I + t e 2 t ( A − 2 I ) = e 2 t [ I + t ( A − 2 I ) ] = e 2 t [ ( 1 1 ) + ( t − t t − t ) ] = e 2 t ( 1 + t − t t 1 − t ) ( 2 ) 求通解 X = e t A C = e 2 t ( 1 + t − t t 1 − t ) ( c 1 c 2 ) = e 2 t ( ( 1 + t ) c 1 − t c 2 t c 1 + ( 1 − t ) c 2 ) { x = e 2 t [ ( 1 + t ) c 1 − t c 2 ] y = e 2 t [ t c 1 + ( 1 − t ) c 2 ] , c 1 , c 2 为任意常数 \begin{aligned} &令A=\left( \begin{matrix} 3&-1\\1&1 \end{matrix} \right),X=\left( \begin{matrix} x\\y \end{matrix} \right),可写方程\frac{dX}{dt}=AX,通解公式为X=e^{tA}\vec{c},\vec{c}_{t=0}=\left( \begin{matrix} c_1\\c_2 \end{matrix} \right)\\ &(1)A为行和矩阵，\lambda(A)=\{2,tr(A)-2\}=\{2,2\},A-2I=\left( \begin{matrix} 1&-1\\1&-1 \end{matrix} \right),r(A-2I)=1\neq2-2=0\\ &\quad A不是单阵，(A-2I)^2=0,故由平移幂0阵可写解析函数f(x)=f(2)+f'(2)(A-2I)\\ &\quad 矩阵函数为f(A)=f(2)I+f'(2)(A-2I)\\ &\quad 令f(A)=e^{tx},f(2)=e^{2t},f'(2)=te^{2t},则e^{tA}=e^{2t}I+te^{2t}(A-2I)=e^{2t}\left[ I+t(A-2I) \right]=e^{2t}\left[ \left( \begin{matrix} 1&\\&1 \end{matrix} \right)+\begin{aligned} \left( \begin{matrix} t&-t\\t&-t \end{matrix} \right) \end{aligned} \right]=e^{2t}\left( \begin{matrix} 1+t&-t\\t&1-t \end{matrix} \right)\\ &(2) 求通解X=e^{tA}C=e^{2t}\left( \begin{matrix} 1+t&-t\\t&1-t \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} c_1\\c_2 \end{matrix} \right)=e^{2t}\left( \begin{matrix} (1+t)c_1-tc_2\\tc_1+(1-t)c_2 \end{matrix} \right)\\ &\quad \left\{ \begin{aligned} &x=e^{2t}[(1+t)c_1-tc_2]\\ &y=e^{2t}[tc_1+(1-t)c_2] \end{aligned} \right.,c_1,c_2为任意常数 \end{aligned} ​令A=(31​−11​),X=(xy​),可写方程dtdX​=AX,通解公式为X=etAc ,c t=0​=(c1​c2​​)(1)A为行和矩阵，λ(A)={2,tr(A)−2}={2,2},A−2I=(11​−1−1​),r(A−2I)=1=2−2=0A不是单阵，(A−2I)2=0,故由平移幂0阵可写解析函数f(x)=f(2)+f′(2)(A−2I)矩阵函数为f(A)=f(2)I+f′(2)(A−2I)令f(A)=etx,f(2)=e2t,f′(2)=te2t,则etA=e2tI+te2t(A−2I)=e2t[I+t(A−2I)]=e2t[(1​1​)+(tt​−t−t​)​]=e2t(1+tt​−t1−t​)(2)求通解X=etAC=e2t(1+tt​−t1−t​)(c1​c2​​)=e2t((1+t)c1​−tc2​tc1​+(1−t)c2​​){​x=e2t[(1+t)c1​−tc2​]y=e2t[tc1​+(1−t)c2​]​,c1​,c2​为任意常数​

二阶微分

$$\begin{array}{rl}& 令y=x^{\prime }=x^{\prime }(t),可写方程组\{\begin{array}{rl}& \frac{dx}{dt}=y\\ & \frac{dy}{dt}=-x\end{array}⟺\{\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\\ & 令X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\Rightarrow \frac{dX}{dt}=AX\\ & 通解公式为e^{tA}{c}_{t=0},c_{t=0}=\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right)\Rightarrow e^{tA}=\left(\begin{array}{cc}cost& sint\\ -sint& cost\end{array}\right)\\ & 可知X=e^{tA}C=\left(\begin{array}{cc}cost& sint\\ -sint& cost\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{c}_{1}cost+c_{2}sint\\ c_{2}cost-c_{1}sint\end{array}\right)，故原方程通解x=c_{1}cost+c_{2}sint\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& x^{\prime \prime }=-a^{2}x,令\{\begin{array}{rlr}& x^{\prime }=ay(t)& \\ & y^{\prime }(t)=-ax& (a{y}^{\prime }(t)=-a^{2}x=x^2)\end{array},即\frac{dX}{dt}=AX,A=\left\{\begin{array}{cc}0& a\\ -a& 0\end{array}\right\},X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\\ & 通解为X=e^{tA}C,其中e^{tA}=e^{\left(\begin{array}{cc}0& at\\ -at& 0\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{cc}cosat& sinat\\ -sinat& cosat\end{array}\right),设C=\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right)\\ & X=e^{tA}C=\left(\begin{array}{cc}cosat& sinat\\ -sinat& cosat\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{c}_{1}cosat+c_{2}sinat\\ c_{2}cosat-c_{1}sinat\end{array}\right)\end{array}$$文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-784249.html

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