卡尔曼滤波 - 状态空间模型中的状态方程
flyfish
状态方程和观测方程统称为状态空间模型
位移
位移
=
Δ
x
=
x
f
−
x
0
\text { 位移}=\Delta x=x_f-x_0
位移=Δx=xf−x0
x
0
x_0
x0 是起始位置
x
f
x_f
xf 是终止位置
在坐标轴里，右边是正，左边是负
面积等于物体的位移
绿色矩形的高度为
v
0
v_0
v0
宽度为
t
t
t
所以面积等于
v
0
v_0
v0
t
t
t
黄色三角形的底是
t
t
t
高度为
v
−
v
0
v-v_0
v−v0
黄色三角形的面积为
1
2
t
(
v
−
v
0
)
\large \frac {1}{2} t (v - v_0)
21t(v−v0)
两者求和时，我们得到位移公式
Δ
x
=
v
0
t
+
1
2
t
(
v
−
v
0
)
\large \Delta x = v_0 t + \frac {1}{2} t (v - v_0)
Δx=v0t+21t(v−v0)
加速度
（
1
）
a
=
Δ
v
Δ
t
（1）\Large a = \frac {\Delta v}{\Delta t}
（1）a=ΔtΔv
速度差，也就是三角形的高
（
2
）
Δ
v
=
v
−
v
0
（2）\Large \Delta v = v - v\normalsize{_0}
（2）Δv=v−v0
（2）式代入（1）式
a
=
v
−
v
0
Δ
t
\Large a = \frac {v - v_0}{\Delta t}
a=Δtv−v0
v
=
v
0
+
a
Δ
t
\Large v = v_0 + \Large a \Delta t
v=v0+aΔt
也就是我们常见的
v
=
v
0
+
a
t
\LARGE v = v_0 + at
v=v0+at
- 简化位移公式
Δ x = v 0 t + 1 2 a t 2 \large \Delta x = v_0 t + \frac {1}{2} at^2 Δx=v0t+21at2
黄色和绿色左右分布也一样
定义系统的状态变量
x
(
t
)
x(t)
x(t)是位置
x
˙
(
t
)
\dot{x}(t)
x˙(t)是速度
a
=
w
(
t
)
a=w(t)
a=w(t)是加速度
x ( t ) = [ x ( t ) x ˙ ( t ) ] = [ 位置 速度 ] \boldsymbol{x}(t)=\left[\begin{array}{l} x(t) \\ \dot{x}(t) \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} \text { 位置 } \\ \text { 速度 } \end{array}\right] x(t)=[x(t)x˙(t)]=[ 位置 速度 ]
x ( t ) = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 {x}(t) = x_0 + v_0 t + \frac {1}{2} at^2 x(t)=x0+v0t+21at2 (位置)
x ˙ ( t ) = v ( t ) = v 0 + a t \dot{x}(t)=v(t) =v_0+a t x˙(t)=v(t)=v0+at （速度）
x ¨ ( t ) = v ˙ ( t ) = a ( t ) = a \ddot{x}(t)=\dot{v}(t)=a(t) =a x¨(t)=v˙(t)=a(t)=a （加速度）
t
t
t 和
t
−
1
t-1
t−1 时刻之间的时间差为
Δ
t
\Delta t
Δt
{
x
t
=
x
t
−
1
+
x
˙
t
−
1
Δ
t
+
1
2
a
Δ
t
2
x
˙
t
=
x
˙
t
−
1
+
a
Δ
t
\left\{\begin{array}{l} x_t=x_{t-1}+\dot{x}_{t-1} \Delta t+\frac{1}{2} a \Delta t^2 \\ \dot{x}_t=\dot{x}_{t-1}+a \Delta t \end{array}\right.
{xt=xt−1+x˙t−1Δt+21aΔt2x˙t=x˙t−1+aΔt
矩阵形式
[
x
t
x
˙
t
]
=
[
1
Δ
t
0
1
]
[
x
t
−
1
x
˙
t
−
1
]
+
[
Δ
t
2
2
Δ
t
]
a
\left[\begin{array}{l} x_t \\ \dot{x}_t \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 1 & \Delta t \\ 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{t-1} \\ \dot{x}_{t-1} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} \frac{\Delta t^2}{2} \\ \Delta t \end{array}\right] a
[xtx˙t]=[10Δt1][xt−1x˙t−1]+[2Δt2Δt]a
A
=
[
1
Δ
t
0
1
]
,
B
=
[
Δ
t
2
2
Δ
t
]
A=\left[\begin{array}{cc} 1 & \Delta t \\ 0 & 1 \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{c} \frac{\Delta t^2}{2} \\ \Delta t \end{array}\right]
A=[10Δt1],B=[2Δt2Δt]
x
t
=
A
x
t
−
1
+
B
u
t
−
1
（状态方程
)
{x_t} = A{x_{t - 1}} + B{u_{t - 1}}（状态方程)
xt=Axt−1+But−1（状态方程)
t
t
t 换成
k
k
k
x
k
=
A
x
k
−
1
+
B
u
k
−
1
（状态方程
)
{x_k} = A{x_{k - 1}} + B{u_{k - 1}}（状态方程)
xk=Axk−1+Buk−1（状态方程)
x k = A x k − 1 + B u k − 1 + w k − 1 （加入随机项状态方程 ) {x_k} = A{x_{k - 1}} + B{u_{k - 1}} + {w_{k - 1}}（加入随机项状态方程) xk=Axk−1+Buk−1+wk−1（加入随机项状态方程)文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-784758.html
其他式子
先验估计
− 代表先验，ˆ代表估计
x
^
k
−
=
A
x
^
k
−
1
+
B
u
k
−
1
\hat{x}_{k}^{-}=A \hat{x}_{k-1}+B u_{k-1}
x^k−=Ax^k−1+Buk−1文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-784758.html
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