三维坐标变换是将三维空间中的点从一个坐标系映射到另一个坐标系的数学操作。这些变换通常包括平移、旋转、缩放和投影等基本操作。以下是一些常见的三维坐标变换以及它们的变换矩阵表示方式：
1. **平移变换（Translation）**：
三维平移变换的矩阵表示为：
```
| 1 0 0 tx |
| 0 1 0 ty |
| 0 0 1 tz |
| 0 0 0 1 |
```
其中，(tx, ty, tz) 是平移的位移向量。
2. **旋转变换（Rotation）**：
旋转变换可以分为绕X轴、Y轴和Z轴的旋转。以绕X轴旋转θ度为例，矩阵表示为：
```
| 1 0 0 0 |
| 0 cos(θ) -sin(θ) 0 |
| 0 sin(θ) cos(θ) 0 |
| 0 0 0 1 |
```
绕Y轴和Z轴旋转的矩阵可以通过类似的方式得到。
3. **缩放变换（Scaling）**：
三维缩放变换的矩阵表示为：
```
| sx 0 0 0 |
| 0 sy 0 0 |
| 0 0 sz 0 |
| 0 0 0 1 |
```
其中，(sx, sy, sz) 是缩放的比例因子。
4. **切变变换（Shear）**：
三维切变变换的矩阵表示为：
```
| 1 kx xy 0 |
| ky 1 yz 0 |
| kz xz 1 0 |
| 0 0 0 1 |
```
其中，(kx, ky, kz) 是切变参数。
5. **透视投影变换（Perspective Projection）**：
透视投影变换用于将三维点投影到一个平面上，通常用于透视摄影。矩阵表示为：
```
| 1 0 0 0 |
| 0 1 0 0 |
| 0 0 1 0 |
| 0 0 -1/d 1 |
```
其中，d 是视点到投影平面的距离。
这些是常见的三维坐标变换的矩阵表示方式。不同变换可以通过组合不同的矩阵来实现复杂的变换效果。这些矩阵变换在计算机图形学、计算机视觉、三维建模和工程领域中被广泛使用，用于处理和操作三维空间中的点、模型和场景。
当推导透视投影变换的矩阵时，我们假设我们的观察点位于原点(0, 0, 0)，并且投影平面位于z轴的负方向上，即z轴的值为负数。
我们首先考虑一个三维点 (X, Y, Z) 在投影平面上的投影点 (x, y)。这个投影点的坐标需要满足以下关系：
```
x = X * (d / Z)
y = Y * (d / Z)
```
其中，d 是视点到投影平面的距离。
接下来，我们将这些关系整合到矩阵中。为了将点 (X, Y, Z) 投影到点 (x, y)，我们可以考虑以下变换矩阵：
```
| 1 0 0 0 |
| 0 1 0 0 |
| 0 0 0 0 |
| 0 0 1/d 1 |
```
其中，前两行用于保持x和y坐标不变，第三行将z坐标变为0，以模拟透视效果。最后一行用于将投影平面移动到z轴的正方向上。
这个矩阵乘以点 (X, Y, Z, 1) 会产生点 (x, y, 0, 1)，其中 (x, y) 是点 (X, Y, Z) 投影到投影平面上的坐标。
总结一下，透视投影变换的矩阵表示是通过考虑投影点和原始点之间的关系以及透视效果的数学模型来推导的。这个矩阵用于将三维点投影到一个平面上，模拟透视视图。在实际应用中，可以使用这个矩阵来进行透视投影的计算。
继续推导切变变换的矩阵。切变变换通常包括水平切变和垂直切变。我们以水平切变为例来推导其矩阵表示。
考虑一个三维点 (X, Y, Z)，进行水平切变时，我们希望其新的坐标为 (X', Y', Z')，其中 X' 与原始 X 坐标相关，而 Y' 和 Z' 与原始 Y 和 Z 坐标保持不变。切变参数记作 k。
水平切变的矩阵表示可以通过下面的矩阵来实现：
```
| 1 k 0 0 |
| 0 1 0 0 |
| 0 0 1 0 |
| 0 0 0 1 |
```
现在，让我们看看这个矩阵是如何影响点 (X, Y, Z, 1) 的坐标的。矩阵乘法如下所示：
```
X' = X + k * Z
Y' = Y
Z' = Z
```
这里，X' 的计算中引入了切变参数 k，而 Y' 和 Z' 与原始坐标保持不变。
这个矩阵的意义是，在进行水平切变时，X 坐标会受到 Z 坐标的影响，而 Y 和 Z 坐标不会发生变化。切变参数 k 决定了切变的程度，正值表示向右切变，负值表示向左切变。
需要注意的是，这是一个水平切变的矩阵表示，如果需要进行垂直切变，只需将矩阵的对应项更改为 k 即可，而其它项保持不变。
总结一下，切变变换的矩阵表示是通过考虑切变操作对坐标的影响，以及切变参数的大小和方向来推导的。这个矩阵用于将三维点进行切变变换，通常在计算机图形学和计算机视觉中用于一些特定的效果和变换。
文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-785296.html
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