余子式
定义
设矩阵
A
=
(
a
i
j
)
n
×
n
A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}
A=(aij)n×n, 将矩阵
A
A
A 的元素
a
i
j
a_{i j}
aij 所在的第行第
j
\mathrm{j}
j 列元素划去后, 到余的各元素按原来的排列顾序组成的
n
−
1
n-1
n−1 阶 矩脌所确定的行列式称为元古
a
i
j
a_{i j}
aij 的余子式，记为
M
i
j
M_{i j}
Mij ，称
A
i
j
=
(
−
1
)
i
−
j
M
i
j
A_{i j}=(-1)^{i-j} M_{i j}
Aij=(−1)i−jMij 为元㝒
a
i
j
a_{i j}
aij 的代数余子式。
方阵
A
=
(
a
i
j
)
n
×
n
A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}
A=(aij)n×n 的各元㝒的代数余子式
A
i
j
A_{i j}
Aij 所构成的支下矩阵
A
∗
A^{*}
A∗ :
A
11
A
21
⋯
A
n
1
A
12
A
22
⋯
A
n
2
⋮
⋮
⋮
A
1
n
A
2
n
⋯
A
n
n
\begin{array}{cccc} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n 1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n 2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1 n} & A_{2 n} & \cdots & A_{n n} \end{array}
A11A12⋮A1nA21A22⋮A2n⋯⋯⋯An1An2⋮Ann
该矩阵
A
∗
A^{*}
A∗ 称为矩牢
A
A
A 的伴随矩阵
伴随矩阵的计算实例
例1：求矩阵A的伴随矩阵，其中矩阵A的行列式
A n ∗ n = ∣ 1 2 − 1 3 1 0 − 1 − 1 − 2 ∣ \mathbf{A}_{n * n}=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 3 &1 & 0 \\ -1 & -1 & -2 \end{array}\right| An∗n=∣∣∣∣∣∣13−121−1−10−2∣∣∣∣∣∣
求解余子式
解：
A
11
\mathbf{A}_{11}
A11的余子式：
A
11
=
∣
1
0
−
1
−
2
∣
\mathbf{A}_{11}=\left|\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1 & -2 \end{array}\right|
A11=∣∣∣∣1−10−2∣∣∣∣
A
11
\mathbf{A}_{11}
A11代数余子式：
A
11
=
(
−
1
)
1
+
1
∣
1
∗
(
−
2
)
−
0
∗
(
−
1
)
∣
=
−
2
\mathbf{A}_{11}=(-1)^{1+1}|1 *(-2)-0 *(-1)|=-2
A11=(−1)1+1∣1∗(−2)−0∗(−1)∣=−2
剩下的代数余子式：
A 11 = − 2 , A 12 = 6 , A 13 = − 2 A 21 = 5 , A 22 = − 3 , A 23 = − 1 A 31 = 1 , A 12 = − 3 , A 13 = − 5 \begin{aligned} &A_{11}=-2, A_{12}=6, A_{13}=-2 \\ &A_{21}=5, A_{22}=-3, A_{23}=-1 \\ &A_{31}=1, A_{12}=-3, A_{13}=-5 \end{aligned} A11=−2,A12=6,A13=−2A21=5,A22=−3,A23=−1A31=1,A12=−3,A13=−5
A的伴随矩阵A* ：文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-785736.html
[ − 2 5 1 6 − 3 − 3 − 2 − 1 − 5 ] \left[\begin{array}{ccc} -2 & 5 & 1 \\ 6 & -3 & -3 \\ -2 & -1 & -5 \end{array}\right] ⎣⎡−26−25−3−11−3−5⎦⎤文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-785736.html
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